Логарифмические однородные уравнения: Часть 1
Математика, 10 класс
Логарифмические однородные уравнения Задача 1.22. Условие Решите уравнение: 3 \log_3^2 \left( x+1 \right) - 4\log_3 \left( x+1 \right) \log_3 \left( 2x+1 \right) + \log_3^2 \left( 2x+1 \right) = 0. Ре...
Видео
Конспект
Логарифмические однородные уравнения
Задача 1.22.
Условие
Решите уравнение: 3 \log_3^2 \left( x+1 \right) - 4\log_3 \left( x+1 \right) \log_3 \left( 2x+1 \right) + \log_3^2 \left( 2x+1 \right) = 0.
Решение
В данном мы имеем дело с однородным уравнением второй степени. Его ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x+1>0,\\
2x+1>0
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>-\frac{1}{2}. Как и для любого однородного уравнения, нужно рассмотреть два случая:
Сперва проверим, что будет, если \log_3 \left( x+1 \right) = 0\ \ \Leftrightarrow \ \ x+1=1,\ \ x=0. Очевидно, что при x=0 исходное уравнение выполняется.
Рассмотрим случай \log_3 \left( x+1 \right) \neq 0\ \ (x\neq 0). Тогда исходное уравнение можно разделить на \log_3^2\left( x+1 \right) . В результате получаем 3-4 \frac{\log_3 \left( 2x+1 \right) }{\log_3 \left( x+1 \right)} + \frac{\log_3^2 \left( 2x+1 \right) }{\log_3^2\left( x+1 \right) } = 0. Введем замену переменной: \frac{\log_3\left( 2x+1 \right)}{\log_3\left( x+1 \right)} = z. Тогда z^2 - 4z+3=0, \left( z-1 \right) \left( z-3 \right) = 0, \left[
\begin{array}{lll}
z=1,\\
z=3.
\end{array}\right. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\frac{\log_3 \left( 2x+1 \right)}{\log_3 \left( x+1 \right)} = 1,\\
\\
\frac{\log_3 \left( 2x+1 \right)}{\log_3 \left( x+1 \right)} = 3.
\end{array}\right. В рамках второго случая ( \log_3\left( x+1 \right) \neq 0 ) эта совокупность равносильна \left[
\begin{array}{lll}
\log_3\left( 2x+1 \right) = \log_3 \left( x+1 \right),\\
\log_3 \left( 2x+1 \right) = 3\log_3 \left( x+1 \right) ,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x+1=2x+1,\\
2x+1 = \left( x+1 \right)^3.
\end{array}\right. Первое уравнение полученной совокупности не имеет решений в рамках второго случая. Рассмотрим второе уравнение совокупности: x^3+3x^2+3x+1 = 2x+1, x^3+3x^2+x=0, x\left( x^2+3x+1 \right) = 0, \left[
\begin{array}{lll}
x=0,\\
x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}
\end{array}\right. Корень x=0 не подходит в рамках второго случая.
Теперь объединим ответы, полученные в первом и втором случаях: x=0 , x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} .
Ответ x=0 , \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} .