Логарифмические однородные уравнения: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 1.24. Условие Решите уравнение: \frac{3\log_3 \left( x^2+x+1 \right) \cdot \log_3 \left( 2x+1 \right)}{\log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) + 2 \log_3^2 \left( 2x+1 \right)} = 1. Решение ОДЗ: 2x+1>0...
Видео
Конспект
Задача 1.24.
Условие
Решите уравнение: \frac{3\log_3 \left( x^2+x+1 \right) \cdot \log_3 \left( 2x+1 \right)}{\log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) + 2 \log_3^2 \left( 2x+1 \right)} = 1.
Решение
ОДЗ: 2x+1>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x>-\frac{1}{2};\ \ x^2+x+1>0. Приведем уравнение к общему знаменателю: \frac{3\log_3\left( x^2+x+1 \right) \cdot \log_3\left( 2x+1 \right)}{\log_2^2\left( x^2+x+1 \right) + 2 \log_3^2 \left( 2x+1 \right)} - \frac{\log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) + 2\log_3^2 \left( 2x+1 \right) }{\log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) + 2\log_3^2 \left( 2x+1 \right)} = 0, \frac{3\log_3 \left( x^2+x+1 \right) \log_3 \left( 2x+1 \right) - \log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) - 2\log_3^2 \left( 2x+1 \right)}{\log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) + 2\log_3^2 \left( 2x+1 \right)} = 0. Полученное уравнение эквивалентно системе \left\{
\begin{array}{lll}
3\log_3 \left( x^2+x+1 \right) \log_3\left( 2x+1 \right) - \log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) - 2\log_3^2 \left( 2x+1 \right) = 0,\\
\log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) + 2 \log_3^2 \left( 2x+1 \right) \neq 0.
\end{array}\right. Определим, для каких x второе условие совокупности выполняется. Для этого рассмотрим уравнение \log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) + 2\log_3^2 \left( 2x+1 \right) = 0. Очевидно, это уравнение выполняется тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: \left\{
\begin{array}{lll}
\log_3 \left( x^2+x+1 \right) =0,\\
\log_3 \left( 2x+1 \right) = 0.
\end{array}\right. Это эквивалентно \left\{
\begin{array}{lll}
x^2+x+1=1,\\
2x+1=1,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0. Таким образом, нам нужно найти решения однородного уравнения 3\log_3 \left( x^2+x+1 \right) \log_3\left( 2x+1 \right) - \log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) - 2\log_3^2 \left( 2x+1 \right) = 0, при условии, что x\neq 0 .
Более того, при x\neq 0 верно \log_3 \left( 2x+1 \right) \neq 0 . Значит, на однородное уравнение можно разделить на \log_3^2 \left( 2x+1 \right) . В результате получим \left\{
\begin{array}{lll}
3 \frac{\log_3 \left( x^2+x+1 \right) }{\log_3 \left( 2x+1 \right) } - \frac{\log_3^2 \left( x^2+x+1 \right) }{\log_3^2 \left( 2x+1 \right) } - 2 = 0,\\
x\neq 0.
\end{array}\right. Введем замену y = \frac{\log_3 \left( x^2+x+1 \right)}{\log_3\left( 2x+1 \right)}. Тогда уравнение приобретает вид 3y-y^2-2=0, y^2 - 3y+2=0, \left( y-1 \right) \left( y-2 \right) = 0. Произведем обратную замену, учтем ОДЗ и условие x\neq 0 : \left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
\frac{\log_3 \left( x^2+x+1 \right)}{\log_3 \left( 2x+1 \right)} = 1,\\
\\
\frac{\log_3 \left( x^2+x+1 \right) }{\log_3 \left( 2x+1 \right) } = 2,
\end{array}\right. \\
\\
x>-\frac{1}{2},\ \ x\neq 0.
\end{array}\right. Перейдем к эквивалентной системе: \left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
\log_3\left( x^2+x+1 \right) = \log_3 \left( 2x+1 \right) ,\\
\log_3 \left( x^2+x+1 \right) = \log_3\left( 2x+1 \right) ^2,
\end{array}\right.\\
x>-\frac{1}{2},\ \ x\neq 0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
x^2+x+1=2x+1,\\
x^2+x+1=4x^2+4x+1,
\end{array}\right.\\
x>-\frac{1}{2},\ \ x\neq 0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
x^2-x=0,\\
3x^2+3x=0,
\end{array}\right.\\
x>-\frac{1}{2},\ \ x\neq 0.
\end{array}\right. Отсюда получаем ответ: x=1 .
Ответ x=1 .