Логарифмические однородные уравнения: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 1.23. Условие Решите уравнение: 2 \log_{\frac{1}{2}}^2 \left( 2x+3 \right) - 5\log_{\frac{1}{2}}\left( 2x+3 \right) \log_{\frac{1}{2}} \left( x-2 \right) + 2 \log_{\frac{1}{2}}^2 \left( x-2 \ri...
Видео
Конспект
Задача 1.23.
Условие
Решите уравнение: 2 \log_{\frac{1}{2}}^2 \left( 2x+3 \right) - 5\log_{\frac{1}{2}}\left( 2x+3 \right) \log_{\frac{1}{2}} \left( x-2 \right) + 2 \log_{\frac{1}{2}}^2 \left( x-2 \right) = 0.
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x-2>0,\\
2x+3>0
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow \ \ x>2. Рассмотрим два случая:
Пусть \log_{\frac{1}{2}}\left( 2x+3 \right) =0. Тогда 2x+3 = 1. Однако, корень x=-1 запрещен в ОДЗ.
Разделим уравнение на \log_{\frac{1}{2}}^2\left( 2x+3 \right) : 2-5 \frac{\log_{\frac{1}{2}}\left( x-2 \right) }{\log_{\frac{1}{2}}\left( 2x-3 \right)} + 2 \frac{\log_{\frac{1}{2}}^2 \left( x-2 \right)}{\log_{\frac{1}{2}}^2 \left( 2x+3 \right) } = 0. Введем замену переменной: y = \frac{\log_{\frac{1}{2}}\left( x-2 \right) }{\log_{\frac{1}{2}}\left( 2x-3 \right)}. Тогда уравнение приобретает вид 2y^2 - 5y +2=0, \left( y-2 \right) \left( 2y-1 \right) = 0. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\frac{\log_{\frac{1}{2}}\left( x-2 \right) }{\log_{\frac{1}{2}}\left( 2x-3 \right)} = 2,\\
\\
\frac{\log_{\frac{1}{2}}\left( x-2 \right) }{\log_{\frac{1}{2}}\left( 2x-3 \right)} = \frac{1}{2}.
\end{array}\right. Так как знаменатели не равны нулю, данную совокупность можно представить в виде \left[
\begin{array}{lll}
\log_{\frac{1}{2}} \left( x-2 \right) = \log_{\frac{1}{2}}\left( 2x+3 \right)^2,\\
\log_{\frac{1}{2}}\left( x-2 \right)^2 = \log_{\frac{1}{2}}\left( 2x+3 \right).
\end{array}\right. Отсюда получаем \left[
\begin{array}{lll}
x-2=\left( 2x+3 \right)^2,\\
\left( x-2 \right) ^2 = 2x+3,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x-2=4x^2+12x+9,\\
x^2-4x+4 = 2x+3,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
4x^2+11x+11=0,\\
x^2-6x+1=0,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x= \frac{-11 \pm \sqrt{11^2-8\cdot 11}}{8},\\
x = 3 \pm \sqrt{9-1},
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x=\frac{-11 \pm \sqrt{33}}{8},\\
x=3 \pm 2\sqrt{2}.
\end{array}\right. Корни x=3-\sqrt{2}, x = \frac{-11\pm \sqrt{33}}{8} не подходят по ОДЗ.
Таким образом, x=3+2 \sqrt{2} .
Ответ x=3+2 \sqrt{2} .