Логарифмические неравенства с переменными основаниями: Часть 1

Видео

Конспект

Примеры логарифмических неравенств с переменными основаниями

Формула рационализации позволяет нам перейти от логарифмического неравенства типа \log_a \left( f(x) \right) - \log_a g(x) > 0 к системе \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{f(x)-g(x)}{a-1} > 0,\\

ОДЗ.

\end{array}\right. Отметим, что в предыдущих примерах знаменатель a-1 не влиял на дальнейшее решение неравенства. Однако, основание логарифма a может быть функцией от x . В таком случае важно учитывать выражение a-1 , появляющееся после применения формул рационализации.

Задача 5.3. \log_{\frac{3x-1}{x+2}} \left( 2x^2 +x-1 \right) \geqslant \log_{\frac{3x-1}{x+2}}\left( 11x-6-3x^2 \right). Решение. Перепишем неравенство в виде \log_{\frac{3x-1}{x+2}} \left( 2x^2 +x-1 \right) - \log_{\frac{3x-1}{x+2}}\left( 11x-6-3x^2 \right) \geqslant 0. Применим формулу рационализации: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{\left( 2x^2+x-1 \right) - \left( 11x-6-3x^2 \right) }{\frac{3x-1}{x+2}-1} \geqslant 0,\\

2x^2+x-1>0,\\

11x-6-3x^2 >0,\\

\frac{3x-1}{x+2}>0,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{\left( 2x^2+x-1 \right) - \left( 11x-6-3x^2 \right) }{\frac{3x-1}{x+2}-1} \geqslant 0,\\

\left( x+1 \right) \left( 2x-1 \right) >0,\\

\left( x-3 \right) \left( 3x-2 \right) < 0,\\

\frac{3x-1}{x+2}>0.

\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 5) и найдем решение ОДЗ: x \in \left( \frac{2}{3};3 \right) .

7 Рисунок 5.

Преобразуем основное неравенство: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{\left( x+2 \right) \left( 5x^2-10x+5 \right) }{3x-1-\left( x+2 \right)} \geqslant 0,\\

\frac{2}{3}<x<3,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{\left( x+2 \right) \left( x-1 \right)^2}{2x-3}\geqslant 0,\\

\frac{2}{3}<x<3.

\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 6).

8 Рисунок 6.

Ответ: \left\{ 1 \right\} \cup \left(\frac{3}{2};3\right)