Логарифмические неравенства часть 2: Часть 1

Видео

Конспект

Задача 1.7.

Условие

Решите неравенство: 9\log_5 \left( 3+x \right) ^4 < 4\log_3 \left( -x-1 \right) ^9 \cdot \log_5 3.

Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

\left( 3+x \right)^4 > 0,\\

\left( -x-1 \right) ^9 >0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \

\left\{

\begin{array}{lll}

x\neq -3,\\

x< -1.

\end{array}\right. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: 9 \frac{\log_3 \left( 3+x \right) ^4}{\log_3 5} < 4 \log_3 \left( -x-1 \right) ^9 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 5}. Заметим, что \log_3 5>0 . Поэтому на него можно сократить: 9 \log_3 \left( 3+x \right)^4 < 4 \log_3 \left( -x-1 \right) ^9.

Вынесем 9 из степени аргумента \log_3 \left( -x-1 \right)^9 и 2 из \log_3\left( 3+x \right)^4 (при таком подходе ОДЗ не нарушается): 18 \log_3 \left( 3+x \right) ^2 < 36 \log_3 \left( -x-1 \right), \log_3 \left( 3+x \right) ^2 < \log_3 \left( -x-1 \right) ^2. Потенцируем: \left( 3+x \right) ^2 < \left( x+1 \right) ^2, \left( x+3 \right) ^2 - \left( x+1 \right) ^2 <0, \left( x+3-x-1 \right) \left( x+3+x+1 \right) <0, 2\left( 2x+4 \right) < 0.

Ответ x \in \left( -\infty;-3 \right) \cup \left( -3;-2 \right) .