Задачи повышенной сложности: Часть 1

Видео

Конспект

Задачи повышенной сложности

Задача 5.15. \frac{1}{3}\log_{\left( x+2 \right) }\left( x^3 +5.5x^2+10.2x+6.385 \right) \leqslant 1. Решение. ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

x+2>0,\\

x+2\neq 1,\\

x^3+5.5 x^2 + 10.2 x +6.385 >0.

\end{array}\right. ОДЗ содержит сложное кубическое неравенство. Для упрощения задачи мы оставим это неравенство нерешенным, и вернемся к нему только после решения исходного логарифмического неравенства.

Преобразуем исходное неравенство: \log_{x+2} \left( x^3 +5.5x^2 +10.2x+6.385 \right) - 3 \leqslant 0, \log_{x+2} \left( x^3 +5.5x^2 +10.2x+6.385 \right) - \log_{\left( x+2 \right)}\left( x+2 \right) ^3 \leqslant 0 и применим формулу рационализации (равносильный на ОДЗ переход): \frac{x^3+5.5x^2+10.2x+6.385 - \left( x^3+6x^2+12x+8 \right)}{\left( x+2-1 \right)} \leqslant 0. Упростим полученное неравенство: \frac{-\frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{5}x - 1.615}{x+1} \leqslant 0, -\frac{500x^2+1800x+1615}{x+1} \leqslant 0, -\frac{100x^2+360x+323}{x+1} \leqslant 0. Найдем корни трехчлена 100x^2 + 360x+323=0, x = \frac{-180 \pm \sqrt{180^2-323\cdot 100}}{100} = \frac{-180\pm 10 \sqrt{18^2-323}}{100} = -\frac{18\pm 1}{10}. Таким образом, неравенство приобретает вид - \frac{\left( x+\frac{17}{10} \right) \left( x+\frac{19}{10} \right) }{x+1} \leqslant 0. Решим его методом интервалов (рис. 16).

16 Рисунок 16 - Иллюстрация к методу интервалов.

Полученные значения нужно сверить с ОДЗ. Очевидно, условия x>-2, \ x\neq -1 выполняются. Осталось проверить выполнение кубического неравенства. Проанализируем это неравенство – выясним участки его монотонности.

Итак, рассмотрим функцию f\left( x \right) = x^3+5.5x^2+10.2x+6.385. Найдем ее производную: \begin{aligned}

f'\left( x \right) = 3x^2+11x+10.2 = 3 \left( x^2+\frac{11}{3} x\right) +10.2 \overset{1}{=} \nonumber\\

=3 \left( x^2 + 2\cdot \frac{11}{6}+\frac{121}{36} \right) - 3\cdot \frac{121}{36} + 10.2= \nonumber\\

=3 \left( x+\frac{11}{6} \right) ^2 + 10.2 - \frac{121}{12} = \nonumber\\

=3\left( x+\frac{11}{6} \right)^2 + 10 +\frac{1}{5}-10-\frac{1}{12}>0 \nonumber

\end{aligned} \overset{1}{=} – выделим полный квадрат.

Таким образом, производная рассматриваемого выражения всегда положительна. Значит, функция f(x) всегда возрастает (рис. 17). В частности, это значит, что у нее не может быть больше одного нуля.

17 Рисунок 17 - Иллюстрация к обьяснению.

Таким образом, если решение неравенства находится правее этого нуля, то оно удовлетворяет ОДЗ. Так как мы не можем найти этот ноль аналитически, выясним, где относительно этого нуля находятся точки -\frac{19}{10},-\frac{17}{10}, -1 . Для этого найдем значения f(x) в данных точках: f\left( -1 \right) = -1+5.5-10.2+6.385=0+\frac{1}{2}-\frac{1}{5} + \frac{385}{1000} > 0. Это значит, число -1 находится правее нуля функции f(x) . Отсюда следует, что луч \left( -1 \right) ;\infty удовлетворяет ОДЗ.

Аналогичным образом проверим точку -\frac{19}{10} : \begin{aligned}

f\left( -\frac{19}{10} \right) = -\frac{19^3}{1000} + \frac{55}{10}\cdot \frac{19^2}{100}-\frac{102}{10}\cdot \frac{19}{10} + \frac{6385}{1000} = \nonumber\\

=\frac{1}{1000}\left( 22000-2200+55+6385-8000+1200-60+1-2040+102 \right) > 0. \nonumber

\end{aligned} Отсюда следует, что точка -\frac{19}{10} находится правее нуля функции f(x) . То же верно и для точки -\frac{17}{10} , так как эта точка правее -\frac{19}{10} . Значит, весь интервал удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \left[ -\frac{19}{10};-\frac{17}{10} \right] \cup \left( -1;+\infty \right) .