Задачи из вступительного экзамена: Часть 1
Математика, 10 класс
Некоторые задачи из вступительного экзамена Задача 5.13. \frac{\log_{24-2x-x^2}\left( x+6 \right)}{\log_{x-4}\left( 24-2x-x^2 \right)} < \frac{1}{4}. Решение. ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} x+6>0,\\...
Видео
Конспект
Некоторые задачи из вступительного экзамена
Задача 5.13. \frac{\log_{24-2x-x^2}\left( x+6 \right)}{\log_{x-4}\left( 24-2x-x^2 \right)} < \frac{1}{4}. Решение. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x+6>0,\\
4-x>0,\\
24-2x-x^2>0,\\
4-x\neq 1,\\
24-2x-x^2\neq 1,\\
\log_{4-x}\left( 24-2x-x^2 \right) \neq 0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
\left\{
\begin{array}{lll}
-6\leqslant x < 4,\\
\left( 4-x \right) \left( 6+x \right) > 0,\\
x\neq 3,\\
x^2+2x-24 \neq -1 \ \ \Leftrightarrow\ \ x \neq 1\pm 2\sqrt{6}.
\end{array}\right. Заметим, что основание одного логарифма совпадает с аргументом другого. Более того, 24-2x-x^2 = \left( 4-x \right) \left( 6+x \right) . Поэтому, чтобы упростить выражение, приведем логарифмы к одному основанию (например, к основанию 2 ): \frac{\frac{\log_2\left( x+6 \right) }{\log_2\left( x+6 \right) \left( 4-x \right)}}{\frac{\log_2\left( x+6 \right) \left(4-x \right) }{\log_2\left( 4-x \right)}} < \frac{1}{4}. Такой переход будет равносильным только при условии 4-x\neq 1 : \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\log_2 \left( x+6 \right) \cdot \log_2\left( 4-x \right) }{\log_2^2\left( x+6 \right) \cdot \left( 4-x \right) }<\frac{1}{4},\\
x\neq 3.
\end{array}\right. Разложим знаменатель в сумму логарифмов: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\log_2\left( x+6 \right) \cdot \log_2 \left( 4-x \right) }{\log_2^2 \left( x+6 \right) +2\log_2\left( x+6 \right) \cdot \log_2\left( 4-x \right) + \log_2^2 \left( 4-x \right) } < \frac{1}{4},\\
x\neq 3.
\end{array}\right. Сведем полученное неравенство к однородному: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{4\log_2\left( x+6 \right) \cdot \log_2 \left( 4-x \right) }{\left( \log_2 \left( x+6 \right) + \log_2 \left( 4-x \right) \right)^2} - \frac{\left( \log_2\left( x+6 \right) + \log_2 \left( 4-x \right) \right)^2}{\left( \log_2\left( x+6 \right) + \log_2\left( 4-x \right) \right)^2} < 0,\\
x\neq 3
\end{array}\right. и преобразуем: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{-\log_2^2 \left( x+6 \right) +2\log_2\left( x+6 \right) \log_2\left( 4-x \right) - \log_2^2\left( 4-x \right)}{\left( \log_2\left( x+6 \right) + \log_2 \left( 4-x \right) \right)^2}<0,\\
x\neq 3,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
- \frac{\left( \log_2 \left( x+6 \right) - \log_2 \left( 4-x \right) \right) ^2}{\left( \log_2 \left( x+6 \right) + \log_2 \left( 4-x \right) \right)^2} < 0,\\
x\neq 3.
\end{array}\right. Очевидно, полученное выражение в левой части неравенства всегда неположительно. Значит, неравенство верно тогда и только тогда, когда \left\{
\begin{array}{lll}
\log_2 \left( x+6 \right) - \log_2 \left( 4-x \right) \neq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ x+6 \neq 4-x,\\
\log_2 \left( x+6 \right) + \log_2 \left( 4-x \right) \neq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq -1 \pm 2 \sqrt{6},\\
x\neq 3.
\end{array}\right. Итак, с учетом ОДЗ получаем \left\{
\begin{array}{lll}
-6<x<4,\\
x\neq -1,\\
x\neq 3,\\
x\neq -1\pm 2 \sqrt{6}.
\end{array}\right. Ответ: \left( -6;-1-2\sqrt{6} \right) \cup \left( -1-2\sqrt{6} ;-1 \right) \cup \left( -1;3 \right) \cup \left( 3;2\sqrt{6} -1 \right) \cup \left( 2\sqrt{6} -1;4 \right)