Задачи из вступительного экзамена: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 5.14. \frac{\log_{21+4x-x^2}\left( 7-x \right)}{\log_{x+3}\left( 21+4x-x^2 \right)} < \frac{1}{4}. Решение. ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} \left. \begin{array}{lll} 7-x>0,\\ x+3>0,\\ 21+4x-x^2...
Видео
Конспект
Задача 5.14. \frac{\log_{21+4x-x^2}\left( 7-x \right)}{\log_{x+3}\left( 21+4x-x^2 \right)} < \frac{1}{4}. Решение. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
\left.
\begin{array}{lll}
7-x>0,\\
x+3>0,\\
21+4x-x^2 >0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left( 7-x \right) \left( x+3 \right) > 0,
\end{array}\right\}
-3<x<7,\\
\ \ x+3\neq 1 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq -2,\\
\ \ 21+4x-x^2 \neq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-4x-20 \neq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ x \neq 2 \pm 2\sqrt{6}.
\end{array}\right. Как и в прошлом примере, упростим неравенство, перейдя к основанию 2 : \left( \frac{\log_2 \left( 7-x \right) }{\log_2 \left( 21+4x-x^2 \right)} \right) : \left( \frac{\log_2 \left( 21+4x-x^2 \right) }{\log_2 \left( x+3 \right) } \right) < \frac{1}{4}. Чтобы переход был равносильным, нужно учесть условие x+3\neq 1 : \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\log_2 \left( 7-x \right) \cdot \log_2 \left( x+3 \right) }{\log_2^2 \left( 21+4x-x^2 \right) } < \frac{1}{4},\\
x\neq -2.
\end{array}\right. Знаменатель в полученном неравенстве является положительным всегда, поэтому мы можем использовать свойство пропорции (обязательно учитываем условие \log_2 \left( 21+4x-x^2 \right) \neq 0 ): \left\{
\begin{array}{lll}
4 \cdot \left( \log_2 \left( 7-x \right) \cdot \log_2 \left( x+3 \right) \right) < 1\cdot \left( \log_2 \left( 7-x \right) + \log_2 \left( x+3 \right) \right)^2,\\
x\neq -2;\ \ x\neq 2\pm 2\sqrt{6}.
\end{array}\right. Упростим: \left\{
\begin{array}{lll}
\log_2^2 \left( 7-x \right) - 2\log_2 \left( 7-x \right) \log_2 \left( x+3 \right) + \log_2^2 \left( x+3 \right) >0,\\
x\neq -2;\ \ x\neq 2\pm 2\sqrt{6},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \log_2\left( 7-x \right) - \log_2\left( x+3 \right) \right) ^2 >0,\\
x\neq -2;\ \ x\neq 2\pm 2\sqrt{6}.
\end{array}\right. Перейдем от разности логарифмов к логарифму частного (переход будет равносильным при учете условия -3<x<7 ): \left\{
\begin{array}{lll}
\left( \log_2 \left( \frac{7-x}{x+3} \right) \right)^2 > 0,\\
-3<x<7,\\
x\neq -2;\ \ x\neq 2\pm 2\sqrt{6}.
\end{array}\right. Очевидно, неравенство верно тогда и только тогда, когда \frac{7-x}{x+3}\neq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{7-x-x-3}{x+3}\neq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq 2;-3. Ответ: \left( -3;7 \right) \backslash \left\{ 2;-2; 2+2\sqrt{6} ; 2-2\sqrt{6} \right\}