Переход к эквивалентным неравенствам: Часть 1
Математика, 10 класс
Переход к эквивалентным неравенствам Формулы рационализации Метод перехода к эквивалентным неравенствам позволяет решать задачи, в которых есть сочетание логарифмических функций с другими функциями (д...
Видео
Конспект
Переход к эквивалентным неравенствам
Формулы рационализации
Метод перехода к эквивалентным неравенствам позволяет решать задачи, в которых есть сочетание логарифмических функций с другими функциями (дробно-рациональными, многочленами и др.).
Напомним, что неравенства называются равносильными тогда и только тогда, когда их множества решений совпадают.
Например, равносильными являются неравенства 3^x \geqslant 9\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ \sqrt{x-2} > -15 \pi, так как для обоих неравенств множество решений x \geqslant 2 .
Применим эту идею к решению логарифмических неравенств. Это позволит нам обоснованно переходить к более простым неравенствам, равносильным исходным. Формулы рационализации являются частным проявлениям описанной идеи. Так, неравенство вида \log_a f(x) > \log_a g(x) справедливо тогда и только тогда, когда \left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
\left\{
\begin{array}{lll}
f(x) > g(x),\\
a>1,
\end{array}\right.\\
\left\{
\begin{array}{lll}
f(x) < g(x),\\
0<a<1,
\end{array}\right.\\
ОДЗ:\ \ \left.
\begin{array}{lll}
f(x) > 0,\\
g(x) > 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array}\right. Очевидно, полученная конструкция является весьма громоздкой. Упростим ее, заметив, что исходное неравенство эквивалентно \log_a f(x) - \log_a g(x) > 0, которое, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{ f(x) - g(x)}{a-1} >0,\\
f(x) >0,\ \ g(x) >0,\ \ a>0.
\end{array}\right. Таким образом, мы заменили логарифмическое неравенство на дробно-рациональное.