Переход к эквивалентным неравенствам: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 5.2. \frac{\log_4 \left( x^4-4x^3+4x^2 \right) + \log_{0.25}\left( 6x^2-12x-9 \right) }{x^2-2x-8} \geqslant 0. Решение. Введем замену: z = x^2-2x. Тогда неравенство приобретает вид \frac{\log_4...
Видео
Конспект
Задача 5.2. \frac{\log_4 \left( x^4-4x^3+4x^2 \right) + \log_{0.25}\left( 6x^2-12x-9 \right) }{x^2-2x-8} \geqslant 0. Решение. Введем замену: z = x^2-2x. Тогда неравенство приобретает вид \frac{\log_4 \left( z^2 \right) - \log_4 \left( 6z-9 \right) }{z-8} \geqslant 0. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
z^2 >0\ \ \Leftrightarrow\ \ z\neq 0,\\
6z - 4>0\ \ \Leftrightarrow\ \ z> \frac{3}{2},\\
z\neq 8.
\end{array}\right. Применим формулу рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{z^2-\left( 6z-9 \right)}{\left( 4-1 \right) \left( z-8 \right)} \geqslant 0,\\
z > \frac{3}{2},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{z^2-6z+9}{z-8} \geqslant 0,\\
z>\frac{3}{2},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( z-3 \right)^2}{z-8} \geqslant 0,\\
z> \frac{3}{2}.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 3): \left[
\begin{array}{lll}
z=3,\\
z>8.
\end{array}\right.
3 Рисунок 3.
Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
x^2-2x=3,\\
x^2-2x>8,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x^2-2x-3=0,\\
x^2-2x-8>0,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
\left( x+1 \right) \left( x-3 \right) = 0,\\
\left( x+2 \right) \left( x-4 \right) >0.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 4).
4 Рисунок 4.
Ответ: \left( -\infty;-2 \right) \cup \left\{ -1 \right\} \cup \left\{ 3 \right\} \cup \left( 4;+\infty \right)