Исследование области значений: Часть 1
Математика, 10 класс
Исследование области значений Исследование области значений в решении логарифмических уравнений Задача 5.1. Условие Решите уравнение: \log_{\frac{1}{3}} \left( 1+ \left( x^2-3x+2 \right) ^2 \right) =...
Видео
Конспект
Исследование области значений
Исследование области значений в решении логарифмических уравнений
Задача 5.1.
Условие
Решите уравнение: \log_{\frac{1}{3}} \left( 1+ \left( x^2-3x+2 \right) ^2 \right) = \sqrt{x^2-6x+8}.
Решение
Очевидно, стандартные методы решения логарифмических уравнений здесь применить нельзя. Стоит, однако, заметить, что мы имеем дело с уравнением вида f(x) = g(x). Это означает, что функции f(x) и g(x) должны иметь пересекающиеся значения в своих областях значений. Так, область значений функции в правой части равенства имеет следующий вид \sqrt{x^2-6x+8} \geqslant 0. В левой же части равенства стоит логарифмическая функция с основанием \frac{1}{3} . Это убывающая функция (рис. 7). Более того, график функции \log_ax всегда проходит через точку (1;0) .
7 График функции \log_{\frac{1}{3}}x
Отсюда следует, что 1+\left( x^2-3x+2 \right)^2 \geqslant 1. Таким образом, левая часть равенства отрицательна: \log_{\frac{1}{3}} \left( 1= \left( x^2-3x+2 \right) ^2 \right) \leqslant 0. Итак, правая часть исходного равенства положительна или равна нулю, а левая часть равенства - отрицательна или равна нулю. Значит, равенство справедливо тогда и только тогда, когда обе части равенства равны нулю: \left\{
\begin{array}{lll}
\sqrt{x^2-6x+8} = 0,\\
\log_{\frac{1}{3}}\left( 1+\left( x^2-3x+2 \right)^2 \right) = 0.
\end{array}\right. Это система относительно одной переменной. Значит, достаточно решить одно из уравнений и выделить среди корней те, которые удовлетворяют второму уравнению. Разрешим первое уравнение системы: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x-2 \right) \left( x-4 \right) = 0,\\
\log_{\frac{1}{3}}\left( 1+\left( x^2-3x+2 \right) ^2 \right) = 0.
\end{array}\right. Второе уравнение системы верно только в случае x=2 .
Ответ x=2 .