Логарифмические уравнения: Часть 1
Математика, 10 класс
Логарифмические уравнения Перейдем к решению уравнений вида \log_a f(x) = \log_a g(x). Заметим, что \log_a x - монотонная функция (рис. 6). 6 Графики функций \log_ax для a>1 и a<1 Поэтому равенство ви...
Видео
Конспект
Логарифмические уравнения
Перейдем к решению уравнений вида \log_a f(x) = \log_a g(x). Заметим, что \log_a x - монотонная функция (рис. 6).
6 Графики функций \log_ax для a>1 и a<1
Поэтому равенство вида \log_a f(x) = \log_a g(x). имеет место тогда и только тогда, когда \left\{
\begin{array}{lll}
f(x) = g(x),\\
f(x) > 0,\\
g(x) > 0.
\end{array}\right. Замечание. При решении задач такого типа всегда нужно учитывать ОДЗ. В частности, нужно учитывать, что формулы для логарифмов, рассмотренные ранее, могут изменять ОДЗ. Все преобразования должны быть равносильными на ОДЗ.
Задача 1.14.
Условие
Решите уравнение: 4 \log_4 x + 3 = \log_2 \left( 12x+8 \right).
Решение
Распишем ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
12x+8>0
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>0. Перейдем к единому основанию в исходном уравнении: 2\log_2 x + 3 = \log_2 \left( 12x+8 \right). Полученное уравнение равносильно (на ОДЗ) следующему уравнению \log_2 x^2 + 3 = \log_2 \left( 12x+8 \right). Учтем, что 3=\log_2 8 и воспользуемся формулой для логарифма произведения: \log_2 8x^2 = \log_2 \left( 12x+8 \right). Полученное уравнение эквивалентно (на ОДЗ) следующему 8x^2 = 12x+8, 2x^2 - 3x-2=0, \left( 2x+1 \right) \left( x-2 \right) = 0. Отметим, что ОДЗ удовлетворяет только один корень: x=2 .
Ответ x=2 .
Задача 1.15.
Условие
Решите уравнение: \log_3 \left( x-4 \right) = 1+6 \log_{\frac{1}{27}} \sqrt{x-2}.
Решение
Распишем ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x-4>0,\\
x-2\geqslant 0,\\
\sqrt{x-2} > 0
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>4. Перейдем к единому основанию: \log_3 \left( x-4 \right) = 1-6 \log_{27}\left( x-2 \right)^{\frac{1}{2}}, \log_3 \left( x-4 \right) = 1-6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \log_3 \left( x-2 \right). Преобразуем полученное уравнение: \log_3 \left( x-4 \right) + \log_3 \left( x-2 \right) = \log_3 3. Воспользуемся формулой для логарифма произведения (учитывая, что такое преобразование эквивалентно на ОДЗ): \log_3 \left( x-4 \right) \left( x-2 \right) = \log_3 3. Потенциируя полученное уравнение, получаем \left( x-4 \right) \left( x-2 \right) = 3, x^2 -6x + 8 =3, x^2 - 6x + 5 =0, \left( x-1 \right) \left( x-5 \right) = 0. ОДЗ удовлетворяет только один из корней: x=5 .
Ответ x=5 .