Логарифмические уравнения: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 1.16.

Условие

Решите уравнение: x^{\lg 3} + 3^{\lg x} = 2 \sqrt{3}.

Решение

ОДЗ: x>0 .

Воспользуемся формулой a^{\log_c b} = b^{\log_c a} и преобразуем исходное выражение: 3^{\lg x} + 3^{\lg x} = 2 \sqrt{3}, 3^{\lg x} = \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}. Отсюда получаем эквивалентное выражение \lg x = \frac{1}{2} \cdot \lg 10, \lg x = \lg \sqrt{10}. Таким образом, x=\sqrt{10} .

Ответ x=\sqrt{10} .

Задача 1.17.

Условие

Решите уравнение: 4x^{\log_2 5} - 5^{\log_2 x} = 75.

Решение

ОДЗ: x>0 . Преобразуем данное равенство, используя формулу a^{\log_c b}=b^{\log_ca} : 4\cdot 5^{\log_2x} - 5^{\log_2x} = 75, 3\cdot 5^{\log_2 x} = 75, 5^{\log_2 x} = 25. Отсюда получаем \log_2 x = 2\ \ \to \ \ x=4.

Ответ x=4.

Задача 1.18.

Условие

Решите уравнение 1+\log_2 \left( 9x^2+5 \right) = \log_{\sqrt{2}}\sqrt{8x^4+14}.

Найдите его корни на \left[ -1;\frac{8}{9} \right] .

Решение

ОДЗ: x \in \mathbb{R} .

Возведем в квадрат основание и аргумент логарифма в правой части равенства: 1+\log_2 \left( 9x^2+5 \right) = \log_2 \left( 8x^4 +14 \right). Учтем, что 1=\log_2 2 и воспользуемся формулой логарифма произведения: \log_2 \left( 18x^2+10 \right) = \log_2 \left( 8x^4+14 \right). Полученное уравнение равносильно следующему 18x^2+10 = 8x^4+14, 4x^4-9x^2+2=0. Полученное уравнение - квадратное относительно x^2 . Его решения имеют вид x^2 = \frac{9\pm \sqrt{81-32}}{8} = \frac{9\pm 7}{8}. Таким образом, x=\pm \sqrt{2} , x=\pm \frac{1}{2} . На отрезок \left( -1;\frac{8}{9} \right) попадают решения x=\pm \frac{1}{2} .

Ответ a) x=\pm \sqrt{2} , \pm \frac{1}{2} ; b) \pm \frac{1}{2} .