Логарифмические уравнения: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 1.19. Условие Решите уравнение: \lg^2 x - 4\lg x+ 3=0. Решение Введем замену переменной: y = \lg x, y^2-4y+3=0, \left( y-1 \right) \left( y-3 \right) = 0, \left[ \begin{array}{lll} y=1,\\ y=3....
Видео
Конспект
Задача 1.19.
Условие
Решите уравнение: \lg^2 x - 4\lg x+ 3=0.
Решение
Введем замену переменной: y = \lg x, y^2-4y+3=0, \left( y-1 \right) \left( y-3 \right) = 0, \left[
\begin{array}{lll}
y=1,\\
y=3.
\end{array}\right. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\lg x =1,\\
\lg x = 3,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{ccc}
x=10,\\
x=1000.
\end{array}\right.
Ответ x=10 , 1000 .
Задача 1.20.
Условие
Решите уравнение: 4 \sqrt{\log_7 x} - \log_7 \left( 7x \right) - 2=0.
Решение
Преобразуем исходное уравнение: 4 \sqrt{\log_7 x} - \log_7 7 - \log_7 x -2=0. В данном случае преобразование суммы логарифмов не меняет ОДЗ.
Умножим полученное уравнение на -1 : \log_7 x - 4 \sqrt{\log_7 x} + 3 =0. Введем замену: \sqrt{\log_7 x} = z,\ \ z\geqslant 0. Тогда z^2 - 4z + 3 =0, \left[
\begin{array}{lll}
z=1,\\
z=3.
\end{array}\right. Произведем обратную замену: \left[
\begin{array}{lll}
\sqrt{\log_7 x} = 1,\\
\sqrt{\log_7 x} = 3,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
\log_7 x = 1,\\
\log_7 x = 9,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x=7,\\
x= 7^9.
\end{array}\right.
Ответ x=7 , 7^9 .
Задача 1.21.
Условие
Решите уравнение: 2\log^2_{\frac{1}{2}}x = 7 \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x} + 4.
Решение
ОДЗ: x> 0 .
Приведем логарифмы к единообразному виду: 2 \left( -1 \cdot \log_2 x \right)^2 = 7 \log_2 x+4. Перепишем уравнение в виде 2 \log_2^2 x - 7 \log_2 x-4=0. Введем замену t = \log_2 x. Тогда уравнение приобретает вид 2t^2-7t-4=0, \left( 2t+1 \right) \left( t-4 \right) =0. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\log_2 x = 4,\\
\log_2 x = \frac{1}{2}.
\end{array}\right. Таким образом, решение имеет вид x=16 , x =\frac{1}{\sqrt{2}} .
Ответ x = 16 , \frac{1}{\sqrt{2}} .