Примеры преобразования логарифмов: Часть 1

Видео

Конспект

Некоторые примеры преобразования логарифмов

Задача 1.4.

Условие

Найти значение \log_{16}8 .

Решение

Преобразуем данное выражение, используя свойства логарифмов о вынесении степеней основания и аргумента: \log_{16}8 = \log_{2^4}2^3 = 3 \cdot \log_{2^4}2 = \frac{3}{4}\log_2 2 = \frac{3}{4}.

Ответ \frac{3}{4}.

Задача 1.5.

Условие

Найти значение \frac{7^{\log_3 18}}{7^{\log_3 2}} .

Решение

Воспользуемся тем, что основания показательных функций в числителе и знаменателе одинаковы: \frac{7^{\log_3 18}}{7^{\log_3 2}} = 7^{\left( \log_3 18 - \log_3 2 \right)}. Теперь воспользуемся свойством о логарифме частного: \frac{7^{\log_3 18}}{7^{\log_3 2}} = 7^{\left( \log_3 18 - \log_3 2 \right)} = 7^{\log_3 \frac{18}{2}} = 7^{\log_3 9} = 49. Данную задачу можно решить другим способом: \frac{7^{\log_3 18}}{7^{\log_3 2}} = \frac{7^{\log_3 9\cdot 2}}{7^{\log_3 2}} = \frac{7^{\log_3 9 + \log_3 2}}{7^{\log_3 2}} = \frac{7^{\log_3 9}\cdot 7^{\log_3 2}}{7^{\log_3 2}}.

Ответ 49.

Задача 1.6.

Условие

Найти значение \log_{0.25}32 .

Решение

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: \log_{0.25} 32 = \log_{\frac{1}{4}}32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 \frac{1}{4}} = \frac{5}{-2}.

Ответ \frac{5}{-2}.

Задача 1.7.

Условие

Найти значение \frac{\log_2 27}{\log_2 9} .

Решение

Воспользуемся формулой выноса степеней из аргумента логарифма: \frac{\log_2 27}{\log_2 9} = \frac{\log_2 3^3}{\log_2 3^2} = \frac{3\log_2 3}{2 \log_2 3} = \frac{3}{2}.

Ответ \frac{3}{2}.

Задача 1.8.

Условие

Найти значение \log_5 60 -\log_5 12 .

Решение

Воспользуемся разложением составных множителей и формулой логарифма произведения: \log_5 60 - \log_5 12 = \log_5 \left( 5\cdot 12 \right) - \log_5 12 = \log_5 5 + \log_5 12 - \log_5 12 = 1.

Ответ 1.

Задача 1.9.

Условие

Найти значение 5^{\lg 16} - 4^{\lg 25} .

Решение

Воспользуемся формулой a^{\log_c b} = b^{\log_ca} для преобразования второго слагаемого: 5^{\lg 16} - 4^{\lg 25} = 5^{\lg 16} - 25^{\lg 4} = \left( 5^{\lg 4} \right)^2 - \left( 5^{\lg 4} \right)^2 = 0.

Ответ 0.

Задача 1.10.

Условие

Найти значение \frac{4^{\lg 5}}{25^{\lg 2}} .

Решение

Аналогично предыдущему случаю преобразуем знаменатель и воспользуемся свойствами логарифма: \frac{4^{\lg 5}}{25^{\lg 2}} = \frac{4^{\lg 5}}{2^{\lg 25}} = \frac{4^{\lg 5}}{\left( 2^2 \right)^{\lg 5}} = \frac{4^{\lg 5}}{4^{\lg 5}} = 1.

Ответ 1.

Задача 1.11.

Условие

Найти значение \left( x^{\frac{\log_9 x}{\log_3 x}} \cdot y^{\frac{\log_9 x}{\log_3 y}} \right)^{2 \log_{xy}(x+y)} .

Решение

Перейдем к единому основанию в логарифмах: \left( x^{\frac{\log_9 x}{\log_3 x}} \cdot y^{\frac{\log_9 x}{\log_3 y}} \right)^{2 \log_{xy}(x+y)} = \left( x^{\frac{\log_{3^2}y}{\log_3 x}} \cdot y^{\frac{\log_9 x}{2\log_9 y}} \right)^{2\log_{xy}\left( x+y \right)} = \left( x^{\frac{\frac{1}{2}\log_3 y}{\log_3 x}} \cdot y^{\frac{\log_9 x}{2 \log_9 y}} \right)^{2\log_{xy}(x+y)}. Теперь мы можем воспользоваться формулой перехода к новому основанию в степенях x и y : \left( x^{\frac{\log_9 x}{\log_3 x}} \cdot y^{\frac{\log_9 x}{\log_3 y}} \right)^{2 \log_{xy}(x+y)} = \left( x^{\frac{\log_{3^2}y}{\log_3 x}} \cdot y^{\frac{\log_9 x}{2\log_9 y}} \right)^{2\log_{xy}\left( x+y \right)} = =\left( x^{\frac{\frac{1}{2}\log_3 y}{\log_3 x}} \cdot y^{\frac{\log_9 x}{2 \log_9 y}} \right)^{2\log_{xy}(x+y)} = \left(x^{\log_xy\cdot \frac{1}{2}} \cdot y^{\log_yx \frac{1}{2}} \right)^{2 \log_{xy}(x+y)} = = \left( y\cdot x \right)^{\log_{xy}(x+y)} = (x+y).

Ответ (x+y).