Примеры преобразования логарифмов: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 1.12.

Условие

Известно, что \log_3 7 = a. Найти \log_{\frac{1}{21}}63 .

Решение

Используя свойства логарифмов, перейдем в искомом выражении к основанию 3 : \log_{\frac{1}{21}}63 = \frac{\log_3 63}{\log_3 \frac{1}{21}} = \frac{\log_3 7\cdot 3^2}{-\log_3 7\cdot 3} = - \frac{\log_3 7+2 \log_3 3}{\log_3 7 + \log_3 3} = - \frac{a+2}{a+1} = -1-\frac{1}{a+1}.

Ответ -1-\frac{1}{a+1}.

Задача 1.13.

Условие

Известно, что \lg 2 = a,\ \ \lg 13 = b. Найдите \log_5 3.38 .

Решение

Перейдем к логарифму по основанию 10 : \log_5 3.38 = \frac{\lg \frac{338}{100}}{\lg 5}. Преобразуем числитель: \lg \frac{338}{100} = \lg 338 - \lg 100 = \lg 2\cdot 13^2 - 2 = \lg2 + \lg 13^2 - 2 = a+2b-2. Теперь рассмотрим знаменатель. Заметим, что \lg 10 = 1= \lg \left( 2\cdot 5 \right) = \lg 2 + \lg 5. Отсюда получаем \lg 5 + a = 1, \lg 5 = 1-a. Таким образом, \log_5 3.38 = \frac{a+2b-2}{1-a}.

Ответ \frac{a+2b-2}{1-a}.