Логарифм от логарифма: Часть 1
Математика, 10 класс
Логарифм от логарифма Некоторые примеры задач Рассмотрим класс логарифмических уравнений, содержащих конструкции со вложенными логарифмами. Задача 3.1. Условие Решите уравнение: \log_2 \log_4x + \log_...
Видео
Конспект
Логарифм от логарифма
Некоторые примеры задач
Рассмотрим класс логарифмических уравнений, содержащих конструкции со вложенными логарифмами.
Задача 3.1.
Условие
Решите уравнение: \log_2 \log_4x + \log_4 \log_2x=2.
Решение
Задачи такого типа решаются также, как и обычные логарифмические уравнения. Единственным существенным отличием является усложненное ОДЗ. В данном случае ОДЗ имеет следующий вид \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
\log_4x>0,\\
\log_2x>0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>1. Здесь мы учли, что логарифм с основанием a>1 является положительным тогда и только тогда, когда его аргумент больше 1 .
Преобразуем рассматриваемое уравнение: \log_2 \log_{2^2} x + \log_{2^2}\log_2x = 2, \log_2 \left( \frac{1}{2}\log_2x \right) + \frac{1}{2}\log_2\log_2x=2. Воспользуемся формулой для логарифма произведения: \log_2 \frac{1}{2} + \log_2\log_2x + \frac{1}{2}\log_2\log_2 x = 2, \frac{3}{2}\log_2\log_2x = 3, \log_2\log_2x=2. Полученное уравнение равносильно \log_2x=4, x=2^4=16.
Ответ x=16 .
Задача 3.2.
Условие
Решите уравнение: \log_{\frac{1}{3}}\log_{27}x + \log_{27}\log_3 x = \frac{1}{3}.
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
\log_3x>0,\\
\log_{27}x>0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>1. Приведем все логарифмы к единому основанию 3 : -\log_3 \left( \frac{1}{3}\log_3x \right) + \frac{1}{3}\log_3\log_3x = \frac{1}{3}. Умножим уравнение на 3 и воспользуемся формулой для логарифма произведения: -3 \left( \log_3 \frac{1}{3} + \log_3\log_3 x \right) + \log_3\log_3x=1, 3-3 \log_3\log_3x+ \log_3\log_3x=1, 2=2\log_3\log_3x, \log_3\log_3x=1, \log_3x=3. Потенциируя, получаем x=3^3=27.
Ответ x=27.