Логарифм от логарифма: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 3.3. Условие Решите уравнение: 2\log_2\log_2x+\log_{0.5}\log_2 \left( 2\sqrt{2} x \right) = 1. Решение ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} x>0,\\ \log_2x>0,\\ \log_2 2\sqrt{2} x >0, \end{array}\rig...
Видео
Конспект
Задача 3.3.
Условие
Решите уравнение: 2\log_2\log_2x+\log_{0.5}\log_2 \left( 2\sqrt{2} x \right) = 1.
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
\log_2x>0,\\
\log_2 2\sqrt{2} x >0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x>1,\\
2\sqrt{2} x>1,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>1. Приведем все логарифмы к одному основанию и воспользуемся формулой для логарифма произведения (во втором слагаемом): 2\log_2\log_2x - \log_2 \left( \log_2 2\sqrt{2} + \log_2x \right) = 1. Внесем множитель 2 в аргумент первого логарифма: 2\log_2 \log_2x = \log_2 \left( \log_2x \right) ^2 (такой переход равносилен на ОДЗ) \log_2 \left( \log_2x \right) ^2 - \log_2 \left( \frac{3}{2}+\log_2x \right) = 1. Отметим, что логарифм суммы (второе слагаемое) в общем случае преобразовать нельзя! Однако, мы можем воспользоваться формулой для логарифма частного и тем самым упростить выражение для разности логарифмов: \log_2 \left( \frac{\log_2^2x}{\frac{3}{2}+\log_2x} \right) = 1. Потенциируя полученное равенство, получаем \frac{\left( \log_2x \right) ^2}{\frac{3}{2}+\log_2x}=2. Это равносильно (на ОДЗ) следующему уравнению \left( \log_2x \right) ^2 = 2\log_2x+3, \left( \log_2x \right) ^2-2\log_2x-3=0, \left( \log_2x-3 \right) \left( \log_2x-1 \right) =0. ОДЗ соответствует корень \log_2x=3 .
Ответ x=8 .