Логарифм от логарифма: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 3.5.

Условие

Решите уравнение: \log_4 \left( 2 \log_3 \left( 1+ \log_2\left(1+3\log_3x \right) \right) \right) = \frac{1}{2}.

Решение

Здесь мы не будем расписывать ОДЗ, так как она будет иметь вид неравенств со вложенными логарифмами. Поэтому далее мы будем тщательно проверять переходы на равносильность.

Будем последовательно снимать внешние логарифмы путем потенциирования уравнения. Сперва избавимся от внешнего логарифма \log_4 : 2\log_3 \left( 1+\log_2 \left( 1+3\log_3 x \right) \right) = 4^{\frac{1}{2}} = 2. Этот переход является равносильным, так как аргумент внешнего логарифма \log_4(\ldots) остается положительным (то есть ОДЗ не изменилось).

Разделим полученное уравнение на 2 : \log_3 \left( 1+\log_2 \left( 1+3\log_3x \right) \right) =1. Потенциируем: 1+\log_2 \left( 1+3\log_3x \right) = 3. Этот переход также является равносильным, так как он не меняет ОДЗ.

Преобразуем полученное уравнение \log_2 \left( 1+3\log_3x \right) =2 и вновь потенциируем: 1+3\log_3x=4 Аналогично, данный переход является равносильным.

Итак, получаем \log_3x=1\ \ \Rightarrow\ \ x=3.

Ответ x=3 .

Задача 3.6.

Условие

Решите уравнение: \log_3 \left( 1+\log_3 \left( 2^x-7 \right) \right) = 1.

Решение

Как и в прошлой задаче, опустим рассмотрение ОДЗ.

Избавимся от внешнего логарифма (учтем, что такой переход является равносильным тогда и только тогда, когда аргумент логарифма остается положительным): \left\{

\begin{array}{lll}

1+\log_3 \left( 2^x-7 \right) = 3,\\

1+\log_3 \left( 2^x-7 \right) > 0.

\end{array}\right. Очевидно, что второе равенство всегда будет верно. Рассмотрим уравнение: \log_3 \left( 2^x-7 \right) =2. Потенциируя, получаем 2^x - 7=9, 2^x = 16.

Ответ x=4 .