Логарифм от логарифма: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 3.4. Условие Решите уравнение: \log_9\log_{\frac{1}{3}}\left( 3x \right) - \log_3\log_{\frac{1}{9}}x^2 = -\log_3 2. Решение Распишем ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} x>0,\\ x^2>0,\\ \log_{\frac{...
Видео
Конспект
Задача 3.4.
Условие
Решите уравнение: \log_9\log_{\frac{1}{3}}\left( 3x \right) - \log_3\log_{\frac{1}{9}}x^2 = -\log_3 2.
Решение
Распишем ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x^2>0,\\
\log_{\frac{1}{3}}3x>0,\\
\log_{\frac{1}{9}}x^2>0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
\log_3 3x<0,\\
\log_9 x^2<0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \
\left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
3x<1,\\
x^2<1
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( 0;\frac{1}{3} \right). Вынесем степени из оснований логарифмов: \log_9 \left( -\log_3 3x \right) - \log_3 \left( -\log_9 x^2 \right) = -\log_3 2. Перейдем к одинаковым основаниям: \frac{1}{2} \log_3 \left( -\log_3 3x \right) - \log_3 \left( -\log_3 x \right) = -\log_3 2. Воспользуемся формулой для логарифма произведения для \log_3 3x : \log_3 \left( -\log_3 3-\log_3 x \right) - 2\log_3 \left( -\log_3x \right) = -2\log_3 2. Введем замену -\log_3x=y. Заметим, что из ОДЗ естественным образом вытекает условие на y : x<\frac{1}{3}\ \ \Rightarrow \ \ \log_3x< -1\ \ \Rightarrow \ \ y>1. Теперь уравнение можно переписать в виде \log_3 \left( y-1 \right) -2\log_3y = \log_3 \frac{1}{4}. Так как имеет место условие y>1 , мы можем совершить равносильный переход к уравнению \log_3 \left( y-1 \right) -\log_3 y^2 = \log_3 \frac{1}{4}. Перейдем от разности логарифмов к логарифму частного: \log_3 \frac{\left( y-1 \right) }{y^2} = \log_3 \frac{1}{4}. Таким образом, на ОДЗ имеет место равенство \frac{y-1}{y^2} = \frac{1}{4}, 4y-4 = y^2, y^2-4y+4=0. Таким образом, y=2 . Произведем обратную замену: \log_3x=-2, x=3^{-2}=\frac{1}{9}.
Ответ x=\frac{1}{9}.