Отбор корней: Часть 1

Видео

Конспект

Отбор корней

Задачи на отбор корней для показательных уравнений

Задача 4.1.

Условие

Решите уравнение 27^x-5\cdot 9^x-3^{x+2}+45=0.

Выделите корни, которые лежат на \left[ \log_3 4;\log_3 10 \right] .

Решение

Перепишем уравнение в виде 3^{3x}-5\cdot 3^{2x} - 9\cdot 3^x+45=0. Введем замену 3^x=y;\ \ y>0. Тогда уравнение принимает вид y^3-5y^2-9y+45=0, y^3-9y-5\left( y^2-9 \right) = 0, y \left( y^2-9 \right) - 5\left( y^2-9 \right) = 0, \left( y-5 \right) \left( y-3 \right) \left( y+3 \right) = 0. Отсюда получаем \left[

\begin{array}{lll}

y=5,\\

y=3,\\

y=-3.

\end{array}\right. Заметим, что корень y=-3 не подходит, так как есть условие y>0 .

Обратная замена: \left[

\begin{array}{lll}

3^x=5,\\

3^x=3,

\end{array}\right. \left[

\begin{array}{lll}

x=\log_3 5,\\

x=1.

\end{array}\right.

Произведем отбор корней. Заметим, что q=\log_3 3<\log_3 4 , \log_3 4<\log_3 5<\log_3 10 . Таким образом, в указанный отрезок входит корень x=\log_3 5 .

Ответ a) x=\log_3 5 , 1 ; b) \log_3 5 .

Задача 4.2.

Условие

Решите уравнение 4^x-2^{x+3}+15=0.

Отберите корни, попадающие в отрезок \left[ 2;\sqrt{10} \right] .

Решение

Приведем уравнение к виду 2^{2x}-8\cdot 2^x+15=0. Введем замену z=2^x,\ \ z>0. Тогда уравнение принимает вид z^2-8z+15=0, \left( z-3 \right) \left( z-5 \right) = 0. Обратная замена: \left[

\begin{array}{lll}

2^x=3,\\

2^x=5,

\end{array}\right. \left[

\begin{array}{lll}

x=\log_2 3,\\

x= \log_2 5.

\end{array}\right.

Оценим, какие из полученных корней попадают в \left[ 2;\sqrt{10} \right] . Учтем, что 2=\log_2 4 , \sqrt{10} = \log_2 2^{\sqrt{10}} . Очевидно, \left.

\begin{array}{lll}

\log_2 3< \log_2 4,\\

\log_2 5>\log_2 4.

\end{array}\right. Осталось сравнить \log_2 5 и \log_2 2^{\sqrt{10}} . Так как \log_2z - монотонно возрастающая функция, знак неравенства между \log_2 5 и \log_2 2^{\sqrt{10}} будет таким же, как и между 5 и 2^{\sqrt{10}} . Заметим, что n 2^{\sqrt{10}}>2^{\sqrt{9}}=8 . Таким образом, 5<2^{\sqrt{10}}. Значит, \log_2 5<\log_2 2^{\sqrt{10}}. Итак, в отрезок \left[ 2;\sqrt{10} \right] попадает корень x=\log_25 .

Ответ a) x=\log_2 3 , \log_2 5 ; b) \log_25 .