Отбор корней: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 4.4.

Условие

Решить уравнение \log_2 \left( x^2-14x \right) = 5.

Указать, какие корни попадают в \left[ \log_3 \frac{1}{10};5\sqrt{10} \right] .

Решение

ОДЗ: x^2-14x>0. Представим правую часть уравнения через логарифм по основанию 2 : \log_2 \left( x^2-14x \right) = \log_2 32. Потенцируем: x^2-14x=32, x^2-14x-32=0. Найдем корни: x=7\pm \sqrt{49+32} = 7\pm 9. Проверим разложение на скобки: \left( x+2 \right) \left( x-16 \right) = 0.

Заметим, что \log_3 \frac{1}{10}<0 , -2 = \log_3 \frac{1}{9} > \log_3 \frac{1}{10}. С другой стороны, 16> 5\sqrt{10} .

Таким образом, в указанный промежуток входит корень x=-2 .

Ответ a) x=16 , -2 ; b) -2 .

Задача 4.5.

Условие

Решите уравнение \log_2^2 x^2 - 16\log_2 \left( 2x \right) + 31 = 0.

Укажите корни, попадающие в \left[ 3;6 \right] .

Решение

ОДЗ: x>0 .

Воспользуемся формулой для логарифма произведения: \left( \log_2 \left( x^2 \right) \right) ^2 - 16\log_2x-16+31=0. Приведем уравнение к квадратному виду: 4\left( \log_2x \right) ^2 - 16\log_2x+15=0. Введем замену y = \log_2x. Тогда уравнение приобретает вид 4y^2-16y+15=0. Найдем корни: y = \frac{8\pm \sqrt{64-60}}{4} = \frac{8\pm 2}{4}. Можно проверить разложение на скобки: \left( 2y-5 \right) \left( 2y-3 \right) = 0. Обратная замена: \log_2x=\frac{3}{2};\ \ x=2\sqrt{2}, \log_2x = \frac{5}{2};\ \ x=4\sqrt{2}.

Заметим, что 3>2\sqrt{2} . Значит, корень x=2\sqrt{2} не входит в указанный промежуток.

С другой стороны, 6>4\sqrt{2} . Таким образом, в указанный промежуток входит x=4\sqrt{2} .

Ответ a) x=2\sqrt{2} , 4\sqrt{2} ; b) 4\sqrt{2} .