Отбор корней: Часть 2

Видео

Конспект

Задачи на отбор корней для логарифмических уравнений

Задача 4.3.

Условие

Решить уравнение 4\left( \log_{\frac{9}{4}}x \right)^2 - 3\log_{\frac{3}{2}}\left( x^2 \right) +8 = 0.

Найти корни, лежащие на \left[ \log_4 9;\log_3 29 \right] .

Решение

ОДЗ: x>0 .

Сведем уравнение к квадратному: 4\left( \frac{1}{2}\log_{\frac{3}{2}}x \right) ^2 - 6\log_{\frac{3}{2}}\left| x \right| +8=0, \log_{\frac{3}{2}}^2 x - 6\log_{\frac{3}{2}}x + 8=0. Введем замену y = \log_{\frac{3}{2}}x. Тогда уравнение приобретает вид y^2-6y+8=0, \left( y-2 \right) \left( y-4 \right) = 0. Обратная замена: \left[

\begin{array}{lll}

\log_{\frac{3}{2}}x=2,\\

\log_{\frac{3}{2}}x=4,

\end{array}\right. \left[

\begin{array}{lll}

x = \frac{9}{4},\\

x=\frac{81}{16}.

\end{array}\right.

Заметим, что \frac{81}{16}>5=\log_3 3^5 = \log_3 163 > \log_3 29, \frac{9}{4}<3=\log_3 27 < \log_3 29. Таким образом, в указанный промежуток входит корень x=\frac{9}{4} .

Ответ a) x=\frac{9}{4} , \frac{81}{16} ; b) \frac{9}{4} .