Исследование области значений: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 5.2. Условие Решите уравнение: \log_{\frac{1}{2}}\left( 1+\sqrt{x^2-4x+3} \right) = \left| x^2+2x-15 \right|. Решение Рассмотрим области значений функций правой и левой частей равенства. Очевид...
Видео
Конспект
Задача 5.2.
Условие
Решите уравнение: \log_{\frac{1}{2}}\left( 1+\sqrt{x^2-4x+3} \right) = \left| x^2+2x-15 \right|.
Решение
Рассмотрим области значений функций правой и левой частей равенства. Очевидно, для правой части равенства верно \left| x^2+2x-15 \right| \geqslant 0. Левая часть равенства - это логарифмическая функция с основанием, меньшим 1 и аргументом, большим 1 . Поэтому \log_{\frac{1}{2}}\left( 1+\sqrt{x^2-4x+3} \right) \leqslant 0. Таким образом, исходное равенство верно тогда и только тогда, когда \left\{
\begin{array}{lll}
\log_{\frac{1}{2}}\left( 1+\sqrt{x^2-4x+3} \right) = 0,\\
\left| x^2+2x-15 \right| = 0.
\end{array}\right. Решим первое уравнение системы: \left\{
\begin{array}{lll}
1+\sqrt{x^2-4x+3} = 1,\\
\left| x^2+2x-15 \right| = 0,
\end{array}\right.
\left\{
\begin{array}{lll}
\left( x-3 \right) \left( x-1 \right) = 0,\\
\left| x^2+2x-15 \right| = 0.
\end{array}\right. Корни первого уравнения: x=3 , x=1 . Второе уравнение системы выполняется только для x=3 .
Ответ x=3.
Задача 5.3.
Условие
Решите уравнение: 2-\log_2 \left( 2+x^2 \right) = \frac{1}{\left( x-1 \right) ^2}+x^2-2x.
Решение
ОДЗ: x\neq 1 .
Чтобы правую часть равенства было легче анализировать, дополним x^2-2x до полного квадрата. Для этого прибавим 1 к обеим частям равенства: 1+2-\log_2 \left( 2+x^2 \right) = \frac{1}{\left( x-1 \right) ^2}+x^2-2x+1. Тогда умовение приобретает вид 3-\log_2 \left( 2+x^2 \right) = \frac{1}{\left( x-1 \right) ^2}+\left( x-1 \right)^2. Напомним, что для a,b>0 справедливо неравенство о средних \frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}. Применим это неравенство к функции правой части: \frac{1}{\left( x-1 \right) ^2}+\left( x-1 \right) ^2 \geqslant 2. С другой стороны, \log_2 \left( 2+x^2 \right) \geqslant \log_2 2, 3-\log_2 \left( 2+x^2 \right) \leqslant 3-1=2. Таким образом, исходное уравнение верно тогда и только тогда, когда обе части равенства равны двум: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{1}{\left( x-1 \right) ^2}+\left( x-1 \right)^2=2,\\
3-\log_2 \left( x^2+2 \right) = 2.
\end{array}\right. Решим первое уравнение системы. Для этого вспомним, что в неравенстве о средних равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b . Отсюда следует, что \left( x-1 \right) ^2 = 1. Таким образом, x=0 или x=2 . Второе равенство системы верно только при x=0 .
Ответ x=0.