Переход к эквивалентным неравенствам: Часть 2
Математика, 10 класс
Некоторые примеры Задача 5.1. \frac{\log_{0.5}\left( 8x^2 +24x-16 \right) + \log_2\left( x^4+6x^3+9x^2 \right)}{x^2+3x-10} \geqslant 0. Решение. ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} 8x^2 +24x-16>0\ \ \Left...
Видео
Конспект
Некоторые примеры
Задача 5.1. \frac{\log_{0.5}\left( 8x^2 +24x-16 \right) + \log_2\left( x^4+6x^3+9x^2 \right)}{x^2+3x-10} \geqslant 0. Решение. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
8x^2 +24x-16>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+3x-2 > 0,\\
x^2 \left( x^2 +6x+9 \right) >0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2 \left( x+3 \right)^2 > 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x^2+3x \right) ^2 > 0,\\
x^2 + 3x-10 \neq 0.
\end{array}\right. Заметим, что в каждом из условий появляется конструкция вида x^2+3x . Введем замену: x^2+3x=y. В результате получаем \frac{\log_{0.5}\left( 8y-16 \right) + \log_2\left( y^2 \right) }{y-10}\geqslant 0. Для такого неравенства ОДЗ приобретает следующий вид: \left\{
\begin{array}{lll}
y^2 >0\ \ \Leftrightarrow\ \ y\neq 0,\\
8y-16>0\ \ \Leftrightarrow\ \ y>2,\\
y\neq 10.
\end{array}\right. Преобразуем неравенство: \frac{\log_2 y^2 - \log_2 \left( 8y-16 \right)}{y-10} \geqslant 0. Применим формулу рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( y^2 - \left( 8y-16 \right) \right) }{\left( 2-1 \right) \left( y-10 \right)} \geqslant 0,\\
y> 2.
\end{array}\right. Отметим, что выражение \left( y^2-\left( 8y-16 \right)\right) имеет тот же знак, что и \log_2 y^2 - \log_2 \left( 8y-16 \right) . Таким образом, мы перешли к равносильному неравенству.
Итак, получаем \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{y^2-8y+16}{y-10}\geqslant 0,\\
y>2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( y-4 \right) ^2}{y-10}\geqslant 0,\\
y>2.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 1): \left[
\begin{array}{lll}
y=4,\\
y> 10.
\end{array}\right. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
x^2+3x=4,\\
x^2+3x> 10,
\end{array}\right.
1 Рисунок 1.
\left[
\begin{array}{lll}
\left( x-1 \right) \left( x+4 \right) = 0,\\
x^2+3x-10>0,
\end{array}\right. \left[
\begin{array}{lll}
x=1,\\
x=-4,\\
\left( x+5 \right) \left( x-2 \right) > 0.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 2).
2 Рисунок 2.
Ответ: \left( -\infty;-5 \right) \cup \left\{ -4 \right\} \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left( 2;+\infty \right)