Задачи повышенной сложности: Часть 4
Математика, 10 класс
Задача 5.18. \left( x-\frac{15}{x} \right) \left| \log_{\frac{-4x-1}{4}} \left( x^2+2x+1 \right) \right| \leqslant 2 \left| \log_{\frac{-4x-1}{4}}\left( x^2+2x+1 \right) \right| . Решение. Преобразуем...
Видео
Конспект
Задача 5.18. \left( x-\frac{15}{x} \right) \left| \log_{\frac{-4x-1}{4}} \left( x^2+2x+1 \right) \right| \leqslant 2 \left| \log_{\frac{-4x-1}{4}}\left( x^2+2x+1 \right) \right| . Решение. Преобразуем неравенство: \left| \log_{\frac{-4x-1}{4}}\left( x^2+2x+1 \right) \right| \left( x-\frac{15}{x}-2 \right) \leqslant 0 и применим формулу рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\left| \frac{x^2+2x+1-1}{- \frac{4x-1}{4}}-1 \right| \left( x-\frac{15}{x}-2 \right) \leqslant 0,\\
x^2+2x+1>0,\\
\frac{-4x-1}{4}>0.
\end{array}\right. Решим полученное неравенство: \left\{
\begin{array}{lll}
4\left| \frac{x^2+2x}{-4x-1-4} \right| \cdot \frac{x^2-2x-15}{x} \leqslant 0,\\
x\neq -1,\\
4x+1<0\ \ \Leftrightarrow \ \ x< -\frac{1}{4},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left| \frac{x\left( x+2 \right) }{4x+5} \right| \frac{\left( x-5 \right) \left( x+3 \right) }{x}\leqslant 0,\\
x\neq -1,\\
x< -\frac{1}{4}.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 21). Отметим, что рассматриваемое неравенство эквивалентно неравенству вида \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2\left( x+2 \right) ^2}{\left( 4x+5 \right) ^2} \frac{\left( x-5 \right) \left( x+3 \right) }{x} \leqslant 0,\\
x\neq -1,\\
x< -\frac{1}{4},
\end{array}\right. что упрощает работу со знаками.
21 Рисунок 21 - Иллюстрация к методу интервалов.
Ответ: \left( -\infty;-3 \right] \cup \left\{ -2 \right\} .