Задачи повышенной сложности: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 5.16. \frac{1}{3}\log_z \left( z^3-0.8z^2+1.1z-0.3 \right) \leqslant 1. Решение. Преобразуем неравенство: \frac{1}{3}\log_z \left( z^3-0.8z^2+1.1z-0.3 \right) - 3 \leqslant 0, \frac{1}{3}\log_z \left( z^3-0.8z^2+1.1z-0.3 \right) - \log_zz^3 \leqslant 0. ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{z^3-0.8z^2+1.1z-0.3-z^3}{z-1} \leqslant 0,\\

z>0,\\

z\neq 1,\\

z^3-0.8z^2+1.1z-0.3 > 0

\end{array}\right. Рассмотрим подробнее первое условие из ОДЗ: -\frac{1}{10} \frac{8z^2-11z+3}{z-1}\leqslant 0, -\frac{1}{10} \frac{\left( z-1 \right) \left( 8z-3 \right) }{z-1} \leqslant 0. Применим метод интервалов (рис. 18).

18 Рисунок 18 - Иллюстрация к методу интервалов.

Отметим, что условия z>0,\ z\neq 1 входит в полученный интервал значений.

Рассмотрим последнее условие из ОДЗ. Введем функцию f\left( z \right) = z^3 -0.8 z^2 +1.1z - 0.3. Найдем ее производную: \begin{aligned}

f'(z) = 3z^2 - 1.6z+1.1 = 3 \left( z^2-\frac{8}{15}z+\frac{11}{30} \right) = \nonumber\\

=3 \left( z^2-2\cdot \frac{4}{15}z+\frac{16}{225}-\frac{16}{225}+\frac{11}{30} \right) = 3 \left( \left( z-\frac{4}{5} \right)^2 + \frac{11}{30} - \frac{16}{225} \right) >0. \nonumber

\end{aligned} Таким образом, функция f(x) возрастает на всей области определения. Значит, последнее условие из ОДЗ задает условие типа \left( x_0;+\infty \right) (рис. 19).

19 Рисунок 19 - Иллюстрация к обьяснению.

Проверим, попадает ли точка \frac{3}{8} в этот луч: f\left( \frac{3}{8} \right) = \left( \frac{3}{8} \right)^3 - \frac{8}{10} \cdot \left( \frac{3}{8} \right) ^2 + \frac{11}{10} \cdot \frac{3}{8} - \frac{3}{10} = \frac{27}{512} - \frac{9}{80} + \frac{33}{80} - \frac{3}{10} = \frac{27}{512}. Отсюда следует, что \frac{3}{8}>x_0 . Таким образом, \left[ \frac{3}{8};1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \left[ \frac{3}{8};1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right) .