Задачи повышенной сложности: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 5.17. \left( x+\frac{8}{x} \right) \left| \log_{\frac{2x-3}{2}}\left( x^2-4x+4 \right) \right| \leqslant 9 \left| \log_{\frac{2x-3}{2}}\left( x^2-4x+4 \right) \right|. Решение. Преобразуем нера...
Видео
Конспект
Задача 5.17. \left( x+\frac{8}{x} \right) \left| \log_{\frac{2x-3}{2}}\left( x^2-4x+4 \right) \right| \leqslant 9 \left| \log_{\frac{2x-3}{2}}\left( x^2-4x+4 \right) \right|. Решение. Преобразуем неравенство: \left( x+\frac{8}{x} \right) \left| \log_{\frac{2x-3}{2}} \left( x^2-4x+4 \right) \right| - 9 \left| \log_{\frac{2x-3}{2}} \left( x^2-4x+4 \right) \right| \leqslant 0, \left| \log_{\frac{2x-3}{2}}\left( x^2-4x+4 \right) \right| \left( x+\frac{8}{x}-9 \right) \leqslant 0. Очевидно, это неравенство выполняется в двух случаях: модуль равен нулю и множитель \left( x+\frac{8}{x}-9 \right) существует или модуль не равен нулю и множитель \left( x+\frac{8}{x}-9 \right)\leqslant 0 .
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x\neq 0,\\
x^2-4x+4>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x-2 \right) ^2 >0 \ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq 2,\\
\frac{2x-3}{2}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x>\frac{3}{2},\\
\frac{2x-3}{x}\neq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq \frac{5}{2}.
\end{array}\right. Рассмотрим каждый из возможных случаев в отдельности:
Первый множитель (модуль) равен нулю: \log_{\frac{2x-3}{2}} \left( x^2-4x+4 \right) =0, и второй множитель \left( x+\frac{8}{x}-9 \right) существует.
Отметим, что условие существования второго множителя верно всегда (входит в ОДЗ).
Решим указанное логарифмическое неравенство: \left\{
\begin{array}{lll}
x^2-4x+4=1,\\
x>\frac{3}{2},\\
x\neq \frac{5}{2},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left( x-2 \right) ^2-1^2=0,\\
x>\frac{3}{2},\\
x\neq \frac{5}{2},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\left[
\begin{array}{lll}
x=3,\\
x=1,\\
\end{array}\right.
x>\frac{3}{2},\\
x\neq \frac{5}{2}
\end{array}\right. Отсюда получаем решение логарифмического уравнения: x=3 .
Первый множитель существует и не равен нулю, а второй множитель неположителен: \left\{
\begin{array}{lll}
x+\frac{8}{x}-9 \leqslant 0,\\
x\neq 2,\\
x>\frac{3}{2},\\
x\neq \frac{5}{2},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2+8-9x}{x}\leqslant 0,\\
x\neq 2,\\
x>\frac{3}{2},\\
x\neq \frac{5}{2},
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( x-1 \right) \left( x-8 \right) }{x}\leqslant 0,\\
x\neq 2, \frac{5}{2}\\
x>\frac{3}{2}.
\end{array}\right. Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 20).
20
Рисунок 20 - Иллюстрация к методу интервалов.
Ответ: \left( \frac{3}{2};2 \right) \cup \left( 2;\frac{5}{2} \right) \cup \left( \frac{5}{2};8 \right] .