Логарифмические неравенства часть 2: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 1.8. Условие Решите неравенство: \log_4 \left( 4-x \right) ^2 - \log_2 \frac{4-x}{5-x}>0. Решение ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} \left( 4-x \right) ^2>0,\\ \frac{4-x}{5-x}>0, \end{array}\right...
Видео
Конспект
Задача 1.8.
Условие
Решите неравенство: \log_4 \left( 4-x \right) ^2 - \log_2 \frac{4-x}{5-x}>0.
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
\left( 4-x \right) ^2>0,\\
\frac{4-x}{5-x}>0,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( -\infty;4 \right) \cup \left( 5;+\infty \right). Воспользуемся формулой \log_ab=\log_{a^n}b^n, для n=\frac{1}{2} : \log_{\sqrt{4}}\sqrt{\left( 4-x \right) ^2} - \log_2 \frac{4-x}{5-x}>0, \log_2 \left| 4-x \right| > \log_2 \frac{4-x}{5-x}. Потенцируем: \left| 4-x \right| > \frac{4-x}{5-x}. Раскроем модуль. Пусть 4-x>0 , x<4 . Тогда 4-x> \frac{4-x}{5-x}, \left( 4-x \right) \left( 1-\frac{1}{5-x} \right) > 0, \left( 4-x \right) \left( \frac{5-x-1}{5-x} \right) > 0, \frac{\left( 4-x \right) ^2}{5-x}>0. Метод интервалов (с учетом ОДЗ) дает x \in \left( -\infty;4 \right) .
Пусть теперь x>4 (с учетом ОДЗ x>5 ). Тогда после раскрытия модуля получаем
x-4> \frac{4-x}{5-x}, x-4- \frac{4-x}{5-x}>0, \left( x-4 \right) \left( 1+\frac{1}{5-x} \right) > 0, \left( x-4 \right) \left( \frac{6-x}{5-x} \right) > 0. Решение методом интервалов (с учетом ОДЗ) дает x \in \left( 6;+\infty \right) .
Ответ x \in \left( -\infty;4 \right) \cup \left( 6;+\infty \right) .