Логарифмические неравенства часть 2: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 1.9.

Условие

Решите неравенство: \log_{\sqrt{3}}\left( 4-3x-x^2 \right) + \log_3 \left( x^2+2x+1 \right) +2 > 2 \log_9 \left( x^2-2x-3 \right) ^2

Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

4-3x-x^2>0,\\

\left( x+1 \right) ^2 >0,\\

\left(x^2-2x-3\right)^2>0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \

x \in (-4;-1) \cup \left( -1;1 \right). Приведем логарифмы к одному основанию. В первом слагаемом ( \log_{\sqrt{3}}\left( \ldots \right) ) возведем основание и аргумент во вторую степень, вынесем степень из основания логарифма в правой части неравенства и представим 2=\log_3 9 : \log_3 \left( 4-3x-x^2 \right) ^2 + \log_3 \left( x+1 \right) ^2 + \log_3 9 > \log_3 \left( x+1 \right) ^2 \left( x-3 \right) ^2. Воспользуемся формулой для логарифма произведения: \log_3 \left( x^2+3x-4 \right) ^2 \cdot \left( x+1 \right) ^2 \cdot 9 > \log_3 \left( x+1 \right) ^2 \left( x-3 \right) ^2. Потенцируем полученное неравенство (так как основание логарифма 3>1 , знак неравенства не меняется): \left( x+1 \right) ^2 \left( 9\left( x^2+3x-4 \right) ^2-\left( x-3 \right) ^2 \right) >0, \left( x+1 \right) ^2 \left( 3x^2+9x-12-x+3 \right) \left( 3x^2+9x-12+x-3 \right) >0, \left( x+1 \right) ^2 \left( 3x^2+8x-9 \right) \left( 3x^2+10x-15 \right) > 0. Найдем корни первого квадратного трехчлена: x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+27}}{3} = \frac{-4\pm \sqrt{43}}{3} и второго квадратного трехчлена: x = \frac{-5\pm \sqrt{25+45}}{3} = \frac{-5\pm \sqrt{70}}{3}. Таким образом, неравенство можно записать в виде \left( x+1 \right) ^2 \left( x- \frac{-4+\sqrt{43}}{3} \right) \left( x-\frac{-4-\sqrt{43}}{3} \right) \left( x- \frac{-5+\sqrt{70}}{3} \right) \left( x - \frac{-5-\sqrt{70}}{3} \right) > 0. Заметим, что 8<\sqrt{70}<9 , 6<\sqrt{73}<7 , \frac{\sqrt{43}-4}{3}< \frac{\sqrt{70} -5}{3} .

Решение методом интервалов (с учетом ОДЗ) дает x \in \left( \frac{-4-\sqrt{43}}{3};-1 \right) \cup \left( -1; \frac{\sqrt{43} -4}{3} \right) .

9 Ответ x \in \left( \frac{-4-\sqrt{43}}{3};-1 \right) \cup \left( -1; \frac{\sqrt{43} -4}{3} \right) .