Логарифмические неравенства с переменными основаниями: Часть 2
Математика, 10 класс
Задача 5.4. \log_{x-2}x \leqslant \log_{x-2}4. Решение. Перепишем неравенство в виде \log_{x-2}x - \log_{x-2}4 \leqslant 0. ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} x>0,\\ x>2,\\ x\neq 3. \end{array}\right. Во...
Видео
Конспект
Задача 5.4. \log_{x-2}x \leqslant \log_{x-2}4. Решение. Перепишем неравенство в виде \log_{x-2}x - \log_{x-2}4 \leqslant 0. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x>2,\\
x\neq 3.
\end{array}\right. Воспользуемся формулой рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x-4}{x-2-1} \leqslant 0,\\
x>2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x-4}{x-3}\leqslant 0,\\
x>2.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 7).
9 Рисунок 7.
Ответ: \left( 3;4 \right]
Задача 5.5. \log_x \left( 3x^2-3x+1 \right) \leqslant 2. Решение. Перепишем неравенство в виде \log_x \left( 3x^2-3x+1 \right) \leqslant \log_x x^2. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1,\\
3x^2-3x+1>0\ - \ верно всегда.
\end{array}\right. Перепишем неравенство в виде \log_x \left( 3x^2 -3x+1 \right) - \log_x x^2 \leqslant 0 и применим формулу рационализации \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{3x^2-3x+1-x^2}{x-1}\leqslant 0,\\
x>0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{2x^2-3x+1}{x-1}\leqslant 0,\\
x>0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( x-1 \right) \left( 2x-1 \right) }{x-1}\leqslant 0,\\
x>0.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 8).
10 Рисунок 8.
Ответ: x \in \left( 0;\frac{1}{2} \right)
Задача 5.6. \log_{\frac{1}{x^2}}\left( x+2 \right) > -1. Решение. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x+2>0 \ \ \Leftrightarrow\ \ x> -2,\\
\frac{1}{x^2} > 0,\\
\frac{1}{x^2}\neq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq \pm 1,\\
x\neq 0.
\end{array}\right. Преобразуем неравенство: \log_{\frac{1}{x^2}} \left( x+2 \right) + \log_{\frac{1}{x^2}}\left( \frac{1}{x^2} \right) > 0, \log_{\frac{1}{x^2}}\left( x+2 \right) - \log_{\frac{1}{x^2}}\left( x^2 \right) >0. Применим формулу рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x+2-x^2}{\frac{1}{x^2}-1} > 0,\\
x> -2,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2 \left( x+2-x^2 \right)}{1-x^2}>0,\\
x>-2,\ \ x\neq 0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2 \left( x^2-x-2 \right) }{x^2-1}>0,\\
x>-2,\ \ x\neq 0,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2 \left( x+1 \right) \left( x-2 \right) }{\left( x-1 \right) \left( x+1 \right)} > 0,\\
x>-2.
\end{array}\right. Применим метод интервалов (рис. 9).
11 Рисунок 9.
Ответ: \left( -2;-1 \right) \cup \left( -1;0 \right) \cup \left( 0;1 \right) \cup \left( -2;+\infty \right)