Логарифмические неравенства с переменными основаниями: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 5.7. \log_{\frac{25-x^2}{16}} \left( \frac{14}{24-2x-x^2} \right) < -1 Решение. ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} \frac{25-x^2}{16}>0\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ -5<x<5,\\ \frac{25-x^2}{16} \ne...
Видео
Конспект
Задача 5.7. \log_{\frac{25-x^2}{16}} \left( \frac{14}{24-2x-x^2} \right) < -1 Решение. ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{25-x^2}{16}>0\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ -5<x<5,\\
\frac{25-x^2}{16} \neq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ x \neq \pm 3,\\
\frac{14}{24-2x-x^2}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{x^2+2x-24}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\left( x+6 \right) \left( x-4 \right)}<0.
\end{array}\right. Объединяя все условия, получаем -5<x<4 .
Преобразуем неравенство: \log_{\frac{25-x^2}{16}} \left( \frac{14}{24-2x-x^2} \right) + \log_{\frac{25-x^2}{16}}\left( \frac{25-x^2}{16} \right) < 0, \log_{\frac{25-x^2}{16}} \left( \frac{25-x^2}{16} \right) - \log_{\frac{25-x^2}{16}}\left( \frac{24-2x-x^2}{14} \right) < 0. Применим формулу рационализации: \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\frac{25-x^2}{16}-\frac{24-2x-x^2}{14}}{\frac{25-x^2}{16}-1} < 0,\\
-5<x<4,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{175-7x^2-\left( 192-16x-8x^2 \right) }{7\left( 25-x^2-16 \right) } <0,\\
-5<x<4,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{x^2+16x-17}{\left( 3-x \right) \left( 3+x \right) }<0,\\
-5<x<4,
\end{array}\right. \left\{
\begin{array}{lll}
\frac{\left( x-1 \right) \left( x+17 \right) }{\left( 3-x \right) \left( 3+x \right)} <0,\\
-5<x<4.
\end{array}\right. Воспользуемся методом интервалов (рис. 10).
12 Рисунок 10.
Ответ: x \in \left( -3;1 \right) \cup \left( 3;4 \right)