Логарифмические уравнения с переменным основанием: Часть 2

Видео

Конспект

Логарифмические уравнения с различными постоянными основаниями

Задача 2.4.

Условие

Решите уравнение: \frac{\log_3\left( 6x-5 \right)}{\log_2x}=\frac{2}{\log_2 3}.

Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

6x-5>0,\\

x>0,\\

\log_2 x \neq 0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \

\left\{

\begin{array}{lll}

x>\frac{5}{6},\\

x\neq 1.

\end{array}\right. Для решения данного уравнения нужно выбрать одно из оснований (например, 2 ) и привести к нему уравнение, используя формулу перехода к новому основанию: \frac{\log_2 \left( 6x-5 \right)}{\log_2 3 \cdot \log_2 x} = \frac{2}{\log_2 3}, \frac{\log_2 \left( 6x-5 \right) }{\log_2 x} - 2 = 0. Перейдем к общему знаменателю: \frac{\log_2 \left( 6x-5 \right) - 2\log_2x}{\log_2 x} = 0. Полученное уравнение равносильно (на ОДЗ) следующей системе: \left\{

\begin{array}{lll}

\log_2 \left( 6x-5 \right) = \log_2 x^2,\\

\log_2 x \neq 0.

\end{array}\right. Отсюда 6x-5=x^2, x^2-6x+5=0, \left[

\begin{array}{lll}

x=1,\\

x=5.

\end{array}\right. ОДЗ соответствует корень x=5 .

Ответ x=5 .

Задача 2.5.

Условие

Решите уравнение: \frac{\log_5 \left( 3x-2 \right)}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 5}.

Решение

Для разнообразия в решении этой задачи не будем выписать ОДЗ. Отметим, что в таком случае нужно учитывать все ограничения в процессе преобразований.

Перейдем к основанию 2 в левой части равенства: \frac{\log_2 \left( 3x-2 \right)}{\log_2 5 \cdot \log_2 x} = \frac{2}{\log_2 5}. В данном случае изменений в ОДЗ не происходит.

Приведём уравнение к общему знаменателю: \frac{\log_2 \left( 3x-2 \right) }{\log_2x} -2=0, \frac{\log_2 \left( 3x-2 \right) -2\log_2x}{\log_2x}=0. Данные преобразования тоже равносильны.

Внесем 2 в аргумент логарифма \log_2x : \frac{\log_2 \left( 3x-2 \right) -\log_2x^2}{\log_2x}=0. Воспользуемся формулой для логарифма частного: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{\log_2 \frac{3x-2}{x^2}}{\log_2x}=0,\\

3x-2>0.

\end{array}\right. Перейдем к эквивалентной системе: \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{3x-2}{x^2}=1,\\

\log_2x\neq 0,\\

x>\frac{2}{3},

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{3x-2}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}=0,\\

x\neq 1,\\

x>0,\\

x>\frac{2}{3},

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

\frac{-\left( x^2-3x+2 \right) }{x^2}=0,\\

\\

x>\frac{2}{3},x\neq 1,

\end{array}\right. \left\{

\begin{array}{lll}

- \frac{\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) }{x^2}=0,\\

x>\frac{2}{3},\ x\neq 1.

\end{array}\right.

Ответ x=2 .