Логарифмические уравнения с переменным основанием: Часть 3

Видео

Конспект

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Задача 2.6.

Условие

Укажите число корней уравнения \log_5^3 x + 3 \log_5^2 x = -\frac{1}{\log_x \sqrt{5}}. Решение

ОДЗ: x>0,x\neq 1 .

Перейдем к одному основанию (такой переход равносилен на ОДЗ): \log_5^3x + 3\log_5^2 x = -\log_{\sqrt{5}}x. Вынесем степень из основания \log_{\sqrt{5}}x : \log_5^3x+3\log_5^2 x =-2 \log_5 x. Введем замену \log_5x=y. Отметим, что так как x\neq 1 (по ОДЗ), y\neq 0 .

В результате получаем уравнение y^3+3y^2+2y=0, y \left( y^2+3y+2 \right) = 0, y\left( y+1 \right) \left( y+2 \right) = 0, \left[

\begin{array}{lll}

y=-1,\\

y=-2.

\end{array}\right. Обратная замена: \left[

\begin{array}{lll}

\log_5x=-1,\\

\log_5x=-2.

\end{array}\right. Таким образом, получаем два корня: x=\frac{1}{5} , x=\frac{1}{25} .

Ответ x=\frac{1}{5} , \frac{1}{25} .

Задача 2.7.

Условие

Решите уравнение: \left| \log_7 3 \cdot \log_3 x^4 - 7\log_x x^2 \right| = 4\log_x 49.

Решение

ОДЗ: x>0,x\neq 1 .

Уменьшим количество оснований и вынесем степени из аргументов логарифмов (этот переход равносилен на ОДЗ): \left| \frac{\log_3 x^4}{\log_3 7} - 14 \underbrace{\log_x x}_{=1} \right| = 8\log_x 7. Заметим, что первое слагаемое в левой части уравнения по сути является результатом применения формулы перехода к новому основанию: \log_ab = \frac{\log_c b}{\log_ca}, \left| \log_7 x^4-14 \right| = \frac{8}{\log_7 x}. Вынесем степень из аргумента \log_7x^4 (это равносильный на ОДЗ переход): \left| 4\log_7 x-14 \right| = \frac{8}{\log_7 x}. Введем замену y = \log_7x,\ \ y\neq 0. Тогда уравнение приобретает вид \left| 2y-7 \right| = \frac{4}{y}. Раскроем модуль. Пусть y>\frac{7}{2} : 2y-7=\frac{4}{y}, \frac{2y^2-7y-4}{y}=0, \left\{

\begin{array}{lll}

y= \frac{7\pm \sqrt{49 \pm 32}}{4},\\

y\neq 0,

\end{array}\right. y_{1,2} = \frac{7\pm 9}{4}. ОДЗ соответствует корень y=4 .

Пусть теперь y\leqslant \frac{7}{2} : 7-2y=\frac{4}{y}, \frac{2y^2-7y+4}{y}=0, y= \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{4}. Оба корня соответствуют ОДЗ.

Итак, \left[

\begin{array}{lll}

y=4,\\

y = \frac{7+\sqrt{17}}{4},\\

y = \frac{7-\sqrt{17}}{4}.

\end{array}\right. Обратная замена: \left[

\begin{array}{lll}

\log_7 x = 4,\\

\log_7 x = \frac{7 + \sqrt{17}}{4},\\

\log_7 x = \frac{7 - \sqrt{17}}{4}.

\end{array}\right. Таким образом, x=7^4; x=7^{\frac{7+\sqrt{17}}{4}} ; x=7^{\frac{7-\sqrt{17}}{4}} .

Ответ x=7^4 , 7^{\frac{7+\sqrt{17}}{4}} , 7^{\frac{7-\sqrt{17}}{4}} .