Логарифм как новая переменная: Часть 4

Видео

Конспект

Примеры задач из ЕГЭ

Задача 2.4.

Условие

Решите неравенство: \log_{x+3}\left( 9-x^2 \right) - \frac{1}{16} \log_{x+3}^2 \left( x-3 \right) ^2 \geqslant 2. Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

x+3>0,\\

x+3\neq 1,\\

9-x^2>0,\\

\left( x-3 \right) ^2 >0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \

x \in \left( -3;-2 \right) \cup \left( -2;3 \right). Применим формулу о логарифме произведения и вынесем степень аргумента из второго логарифма (эти переходы равносильны на ОДЗ): \log_{x+3}\left| 3-x \right| + \log_{x+3}\left| 3+x \right| - \frac{1}{16}\left( 2\log_{x+3}\left| x-3 \right| \right) ^2 \geqslant 2. Заметим, что \left| 3+x \right| = 3+x (так как x+3>0 по ОДЗ). Значит, \log_{x+3}\left| 3+x \right| = 1 . С другой стороны, x<3 (согласно ОДЗ). Значит, \left| 3-x \right| = 3-x , \left| x-3 \right| = 3-x . Таким образом, после раскрытия логарифмов получаем \log_{x+3}\left( 3-x \right) +1 - \frac{1}{4}\log_{x+3}^2 \left( 3-x \right) \geqslant 2. Введем замену: \log_{x+3}\left( 3-x \right) = y. Тогда неравенство приобретает вид 4+4y-y^2\geqslant 8, y^2-4+4\leqslant 0, \left( y-2 \right) ^2 \leqslant 0. Это неравенство вырождается в равенство, причем y=2 . Обратная замена дает \log_{x+3}\left( 3-x \right) = 2. Решим полученное логарифмическое уравнение: 3-x=\left( x+3 \right) ^2, x^2+6x+9=3-x, x^2+7x+6=0, \left( x+1 \right) \left( x+6 \right) = 0. Корень x=-6 не входит в ОДЗ.

Ответ x=-1 .