Логарифм как новая переменная: Часть 3

Видео

Конспект

Некоторые примеры логарифмических неравенств с малыми степенями логарифмов

Задача 2.3.

Условие

Решите неравенство: \sqrt{\frac{3}{2}\log_9 \left( 4x^2-3 \right)} >\log_3 \sqrt{4x^2-3}. Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

4x^2-3>0,\\

\log_9 \left( 4x^2-3 \right) \geqslant 0,\\

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\geqslant 1. Приведем логарифмы к одному основанию и вынесем степень из аргумента логарифма в правой части неравенства: \sqrt{\frac{3}{4}\log_3 \left( 4x^2-3 \right)} > \frac{1}{2}\log_3\left( 4x^2-3 \right). Введем замену \log_3 \left( 4x^2-3 \right) = y,\ \ y\geqslant 0. Тогда получаем \sqrt{3y} >y, y-\sqrt{3y} <0, \sqrt{y} \left( \sqrt{y} - \sqrt{3} \right) < 0. Решение методом интервалов дает 0<\sqrt{y} < \sqrt{3}, 0<y<3. Произведем обратную замену: 0<\log_3\left( 4x^2-3 \right) <3, 1<4x^2-3<27, 4<4x^2<30, 1<x^2<\frac{15}{2}.

Ответ x \in \left( -\sqrt{\frac{15}{2}} ;1 \right) \cup \left( 1; \frac{\sqrt{15}}{2} \right) .