Метод логарифмирования: Часть 3
Математика, 10 класс
Задача 4.4. Условие Решите уравнение: x^{\log_{\sqrt{x}}\left( x-2 \right)} = 9. Решение ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} x>0,\\ x-2>0,\\ x\geqslant 0,\\ \sqrt{x} >0,\\ \sqrt{x} \neq 1, \end{array}\rig...
Видео
Конспект
Задача 4.4.
Условие
Решите уравнение: x^{\log_{\sqrt{x}}\left( x-2 \right)} = 9.
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x-2>0,\\
x\geqslant 0,\\
\sqrt{x} >0,\\
\sqrt{x} \neq 1,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>2. Прологарифмируем уравнение по некоторому произвольному постоянному основанию (например, по основанию 3 ): \log_3 x^{\log_{\sqrt{x}}\left( x-2 \right)} = \log_3 9. Вынесем степень аргумента за знак логарифма: \left( \log_{\sqrt{x}}\left( x-2 \right) \right) \cdot \log_3x = 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: \frac{\log_3 \left( x-2 \right)}{\log_3 \sqrt{x} } \cdot \log_3x=2. Вынесем степень аргумента в \log_3 \sqrt{x} (это равносильный на ОДЗ переход): \frac{\log_3 \left( x-2 \right) }{\frac{1}{2}\log_3x}\cdot \log_3x = 2. Так как x>2 , то \log_3x\neq 0 . Значит, можно сократить на \log_3x : 2\log_3 \left( x-2 \right) =2. Отсюда получаем x-2=3.
Ответ x=5 .
Задача 4.5.
Условие
Решите уравнение: x^{\log_{\sqrt{x}}\left( 2x \right)} = 4.
Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
\sqrt{x} \neq 1,
\end{array}\right.
\ \ \Leftrightarrow\ \ x>0,x\neq 1.
Возьмем логарифм по основанию x от левой и правой частей равенства (это равносильный переход): \log_x x^{\log_{\sqrt{x}}\left( 2x \right) } = \log_x 4. Вынесем степень аргумента за знак логарифма: \log_{\sqrt{x}}2x \cdot \log_{x}x = \log_x 4. Перейдем к единому основанию: \log_x 4x^2 = \log_x 4. Потенциируем: 4x^2 = 4, Таким образом, x=\pm 1 . Однако, ни одно из этих условий не входит в ОДЗ.
Ответ решений нет.