Метод логарифмирования: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 4.6.

Условие

Решите уравнение: 11\cdot 4^{\log_4^2x-1}+\frac{1}{4}x^{\log_4x}=3\sqrt{2}.

Решение

ОДЗ: x>0 .

Упростим уравнение: 11\cdot 4^{\log_4^2 x} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} x^{\log_4x} = 3^{\sqrt{2}}, 11\cdot 4^{\log_4^2 x} + x^{\log_4x} = 4\cdot 3^{\sqrt{2}}. Рассмотрим первое слагаемое отдельно: 4^{\log_4^2x} = 4^{\log_4x \cdot \log_4x} = \left( 4^{\log_4x} \right)^{\log_4x} = x^{\log_4x}. Таким образом, исходное уравнение приобретает вид 11\cdot x^{\log_4x}+1\cdot x^{\log_4x}=12\sqrt{2} , x^{\log_4x}=\sqrt{2}. Возьмем логарифм по основанию 4 : \log_4x^{\log_4x} = \log_4 \sqrt{2}. Вынесем степень аргумента: \log_4x \cdot \log_4x = \log_4 4^{\frac{1}{4}}, \log_4^2 x = \frac{1}{4}, \log_4x = \pm \frac{1}{2}.

Ответ x=2 , \frac{1}{2}.

Задача 4.7.

Условие

Решите уравнение: 3^{\log_3^2x} + x^{\log_3x}=162.

Решение

ОДЗ: x>0 .

Преобразуем исходное уравнение: 3^{\log_3x\cdot \log_3x} + x^{\log_3x} = 162, \left(3^{\log_3x} \right)^{\log_3x} + x^{\log_3x} = 162, x^{\log_3x}+x^{\log_3x}= 162,

x^{\log_3x}=81. Возьмем логарифм по основанию 3 : \log_3x^{\log_3x} = 4, \log_3x=\pm 2. Ответ x=9, \frac{1}{9}.