Замена оснований логарифмов Часть 2: Часть 4
Математика, 10 класс
Задача 3.9. Условие Решите неравенство: \log_x 5 + 3\log_{\frac{x}{5}}25 - 7\log_{25x}5\geqslant 0. Решение ОДЗ: \left\{ \begin{array}{lll} x>0,\\ x\neq 1,\\ x\neq 5,\\ x\neq \frac{1}{25}. \end{array}...
Видео
Конспект
Задача 3.9.
Условие
Решите неравенство: \log_x 5 + 3\log_{\frac{x}{5}}25 - 7\log_{25x}5\geqslant 0. Решение
ОДЗ: \left\{
\begin{array}{lll}
x>0,\\
x\neq 1,\\
x\neq 5,\\
x\neq \frac{1}{25}.
\end{array}\right. Приведём логарифмы к одному основанию: \frac{1}{\log_5x}+\frac{6}{\log_5 \frac{x}{5}} - \frac{7}{\log_5 25x} \geqslant 0, \frac{1}{\log_5 x} + \frac{6}{\log_5x-1} - \frac{7}{\log_5x+2} \geqslant 0. Введем замену: \log_5x=z. Тогда неравенство приобретает вид \frac{1}{z}+\frac{6}{z-1}-\frac{7}{z+2}\geqslant 0. Приведем к общему знаменателю: \frac{\left( z-1 \right) \left( z+2 \right) + 6z\left( z+2 \right) -7z\left( z-1 \right)}{z\left( z-1 \right) \left( z+2 \right) } \geqslant 0, \frac{z^2+z-2+6z^2+12z-7z^2+7z}{z\left( z-1 \right) \left( z+2 \right)} \geqslant 0, \frac{20z-2}{z\left( z-1 \right) \left( z+2 \right)} \geqslant 0. Решение методом интервалов дает \left[
\begin{array}{lll}
z< -2,\\
0<z\leqslant\frac{1}{10},\\
z>1.
\end{array}\right. Обратная замена: \left[
\begin{array}{lll}
\log_5 z< -2,\\
0<\log_5x\leqslant \frac{1}{10},\\
\log_5z > 1.
\end{array}\right. Отсюда получаем (с учетом ОДЗ) x \in \left( 0;\frac{1}{25} \right) \cup \left( 1;\sqrt[10]{5} \right] \cup \left( 5;+\infty \right) .
Ответ x \in \left( 0;\frac{1}{25} \right) \cup \left( 1;\sqrt[10]{5} \right] \cup \left( 5;+\infty \right) .