Замена оснований логарифмов Часть 2: Часть 3

Видео

Конспект

Некоторые примеры логарифмических неравенств с различными переменными основаниями

Задача 3.8.

Условие

Решите неравенство: \log_x 3 + 2\log_{3x}3 - 6\log_{9x}3 \leqslant 0. Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

x>0,\\

x\neq 1,\\

x\neq \frac{1}{3},\\

x\neq \frac{1}{9}.

\end{array}\right. Перейдем к одному основанию во всех логарифмах: \frac{1}{\log_3x}+\frac{2}{\log_3 3x} - \frac{6}{\log_3 9x} \leqslant 0. Воспользуемся формулой для логарифма произведения: \frac{1}{\log_3x}+\frac{2}{\log_3x+1}-\frac{6}{\log_3x+2}\leqslant 0. Введем замену \log_3x=y. Тогда неравенство приобретает вид \frac{1}{y}+\frac{2}{y+1}-\frac{6}{y+2}\leqslant 0. Приведем к общему знаменателю: \frac{\left( y+1 \right) \left( y+2 \right) +2y\cdot \left( y+2 \right) -6y \left( y+1 \right)}{y \left( y+1 \right) \left( y+2 \right) }\leqslant 0, \frac{y^2+3y+2+2y^2+4y-6y^2-6y}{y \left( y+1 \right) \left( y+2 \right)} \leqslant 0, \frac{-3y^2+y+2}{y\left( y+1 \right) \left( y+2 \right) }\leqslant 0, - \frac{3y^2-y-2}{y\left( y+1 \right) \left( y+2 \right)} \leqslant 0, - \frac{\left( 3y+2 \right) \left( y-1 \right)}{y\left( y+1 \right) \left( y+2 \right)} \leqslant 0. Метод интервалов дает y \in \left( -2;-1 \right) \cup \left[ -\frac{2}{3};0 \right)\cup \left[ 1;+\infty \right) . Произведем обратную замену: \left[

\begin{array}{lll}

-2<\log_3x< -1,\\

-\frac{2}{3}\leqslant \log_3 x <0,\\

\log_3x\geqslant 1.

\end{array}\right.

Ответ x \in \left( \frac{1}{9};\frac{1}{3} \right) \cup \left[ 3^{-\frac{2}{3}};1 \right) \cup \left( 3;+\infty \right) .