Важность ОДЗ: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 1.26.

Условие

Решите уравнение: \log_2 \left( x-11 \right) ^2 = 4 \log_4 \left( 3-x \right) + \log_{\sqrt{2}}7.

Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

3-x>0\ \ \Leftrightarrow\ \ x<3,\\

\left( x-11 \right)^2 > 0\ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq 11

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( -\infty;3 \right). Приведем логарифмы к одному основанию: \log_2 \left( x-11 \right) ^2 = \frac{4}{2}\log_2 \left( 3-x \right) + \log_2 49. Уравнение упростится, если мы вынесем степень из аргумента логарифма в левой части равенства. Однако переход \log_2 \left( x-11 \right)^2 = 2\log_2 \left( x-11 \right) не является равносильным, так как из ОДЗ следует x>3 . Значит, x-11<0 и переход является равносильным, если мы правильно раскрываем модуль: 2 \log_2 \left( 11-x \right) = 2 \log_2 \left( 3-x \right) + 2 \log_2 7. В результате получаем линейное уравнение: \log_2 \left( 11-x \right) = \log_2 \left( 7\cdot \left( x-3 \right) \right), 11-x= 31 -7x, 6x=10. Таким образом, x=\frac{5}{3} .

Ответ x=\frac{5}{3} .

Задача 1.27.

Условие

Решите уравнение: \log_4 \left( 11+x \right)^2 + \log_4 \left( 5-x \right) ^2 = 4+\log_4 \left( x-5 \right) ^2.

Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

\left( 11+x \right) ^2 > 0,\\

\left( 5-x \right)>0,\\

\left( x-5 \right) ^2 > 0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \ x\neq -11,5. Воспользуемся формулой логарифма произведения (это равносильный переход): \log_4 \left( 11+x \right) ^2 \left( 5-x \right) ^2 = \log_4 \left( 256\left( x-5 \right) ^2 \right). Отсюда получаем \left( 11+x \right) ^2 \left( 5-x \right) ^2 = 16^2 \cdot \left( x-5 \right) ^2, \left( x-5 \right)^2 \left( \left( 11+x \right) ^2 - 16^2 \right) = 0, \left( x-5 \right) ^2 \left( x+11-16 \right) \left( x+11+16 \right) = 0, \left( x-5 \right) ^3 \left( x+27 \right) = 0. После учета ОДЗ получаем ответ: x = -27 .

Ответ x = -27 .