Понятие логарифма. Примеры построения графиков: Часть 2

Видео

Конспект

логарифм частного: \log_a \frac{x}{y} = \log_ax-\log_ay,\ \ a>0,a\neq 1, x>0,y>0;

\log_ax^p = p\log_ax,\ \ a>0,a\neq 1,x>0;

\log_{a^q}x = \frac{1}{q}\log_ax,\ \ x>0,a\neq 1, x>0;

\log_{a^p}x^p = \log_ax,\ \ x>0,a>0,a\neq 1;

формула перехода к новому основанию: \log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca},\ \ \ a,b,c>0,\ a,c\neq 1. Доказательство Первые два свойства напрямую вытекают из определения логарифма.

Введем обозначения b=\log_ax, c=\log_ay. Тогда a^b=x, a^c = y. Отсюда следует, что произведение последних двух выражений имеет вид a^{b+c} = xy. Воспользуемся определением логарифма: b+c=\log_a xy.

Введем обозначения a^b = x,\ \ a^c = y. Тогда \frac{x}{y}=\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}, \log_ax - \log_ay = b-c=\log_a \frac{x}{y}.

Введем обозначение b=\log_ax. Тогда a^b =x. Возведем правую и левую части полученного равенства в степень p : a^{pb} = x^p. Отсюда получаем pb = \log_ax^p. Вспомним введенное обозначение b : p \cdot \log_ax = \log_ax^p.

Докажем формулу \log_ab = \frac{\log_c b}{\log_c a}. Введем обозначения: x = \log_c b;\ \ c^x = b, y = \log_ab;\ \ a^y = b. Отсюда получаем c^x = a^y. Отсюда, в частности, следует x = \log_ca^y = y \cdot \log_ca. Учтем введенные обозначения для x и y и перепишем полученное равенство в виде \log_c b = \log_ab \cdot \log_c a. Разделим правую и левую часть данного равенства на \log_c a (отметим, что это возможно, так как a\neq 1 по условию, а значит, \log_ca\neq 0 ): \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b. Отметим, что пропущенные в доказательстве свойства можно доказать, используя формулу перехода к новому основанию.

Докажем формулу о вынесении степени из основания. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию: \log_{a^q}b = \frac{\log_a b}{\log_a a^q} = \frac{\log_a b}{q\log_a a}, \ \ a\neq 1,a>0,b>0.