Логарифмические неравенства часть 1: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 1.5.

Условие

Решите неравенство: \log_{\pi}\left( x+27 \right) - \log_{\pi}\left( 16-2x \right) < \log_{\pi}x.

Решение

ОДЗ: \left\{

\begin{array}{lll}

x+27>0,\\

16-2x>0,\\

x>0,

\end{array}\right.

\ \ \Leftrightarrow\ \

\left\{

\begin{array}{lll}

x>0,\\

x<8.

\end{array}\right. Преобразуем исходное неравенство, используя формулу для логарифма произведения: \log_{\pi}\left( x+27 \right) < \log_{\pi}x + \log_{\pi}\left( 16-2x \right), \log_{\pi}\left( x+27 \right) < \log_{\pi}x \cdot \left( 16-2x \right). Потенцируем: x+27 < 16x-2x^2, 2x^2-15x+27<0. Найдем корни: x_{1,2} = \frac{15\pm \sqrt{15^2-2\cdot 4\cdot 27}}{4} = \frac{15\pm 3\sqrt{25-24}}{4}. Отсюда получаем \left( x-3 \right) \left( 2x-9 \right) < 0.

Ответ x \in \left( 3;\frac{9}{2} \right) .

Задача 1.6.

Условие

Решите неравенство: \frac{5}{2}\log_5 \sqrt[5]{x} - \frac{1}{3}\log_{\sqrt{5}}x > 1.

Решение

ОДЗ: x>0 .

Перепишем все корни через степени: \frac{5}{2}\log_5 x^{\frac{1}{5}} > 1+\frac{1}{3}\log_{5^{\frac{1}{2}}}x. Вынесем степени из аргумента и основания логарифмов: \frac{1}{2}\log_5 x> \log_5 5+\frac{2}{3}\log_5 x. Умножим обе части неравенства на 6 3 \log_5 x > 6\log_5 5 + 4\log_5 x и внесем соответствующие множители перед логарифмами в их аргументы: \log_5 x^3 > \log_5 5^6 \cdot x^4. Потенцируем: x^3 > 5^6x^4, x^3 \left( 5^6x-1 \right) < 0.

Ответ x \in (0;5^{-6}) .