Логарифмические неравенства часть 1: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 1.2.

Условие

Решите неравенство: \log_{0.5} \left( x^2 - 5x + 6 \right) > -1.

Решение

ОДЗ: x^2-5x+6>0 \ \ \Leftrightarrow\ \ \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) >0\ \ \Leftrightarrow\ \ x \in \left( -\infty;2 \right) \cup \left( 3,+\infty \right). Представим правую часть неравенства через логарифм по основанию 0.5 : \log_{0.5}\left( x^2-5x+6 \right) > \log_{0.5}\left( 0.5 \right)^{-1}. Потеницируем полученное неравенство, учитывая, что основание меньше 1 (то есть знак неравенства меняется на противоположный): x^2-5x+6<2, x^2-5x+4<0, \left( x-1 \right) \left( x-4 \right) < 0. Решение методом интервалов (с учетом ОДЗ) дает ответ x \in \left( 1;2 \right) \cup \left( 3;4 \right) .

Замечание. Подобные задачи можно решать другим способом - с помощью перехода к основанию, большему 1 : \frac{\log_2 \left( x^2-5x+6 \right)}{\log_2 0.5} > -1, \frac{\log_2 \left( x^2-5x+6 \right)}{-1} > -1, \log_2 \left( x^2-5x+6 \right) < +1. Теперь, так как основание логарифма больше 1 , знак неравенства при потенциировании менять не нужно: x^2-5x+6<2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-5x+4<0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-1)(x-4) < 0 \quad \Leftrightarrow \Leftrightarrow \quad x \in (- \infty; \; 1) \cup (4; \; +\infty).

Ответ x \in (- \infty; \; 1) \cup (4; \; +\infty) .