Основные положения МКТ идеального газа. Микроскопические параметры молекул и уравнение состояния.: Часть 3

Формулы и расчёты

Размер молекулы воды:

Размер молекулы рассчитывается следующим образом:

v_1=\frac{V_1}{N_1},\qquad V_1=18\,\text{см}^3,\quad N_1=(1\,\text{моль})N_A\approx6\cdot10^{23}

Где:

V_1 — объём одного моля жидкой воды при плотности примерно 1 г/см³.

N_1 — число молекул в этом объёме.

v_1 — объём, приходящийся на одну молекулу, а не молярный объём.

Общий объем:

V = 18\,{см}^{3} = 18*10^{- 6}м^{3}

Объем одной молекулы:

v_1=\frac{18\cdot10^{-6}}{6\cdot10^{23}}\,\text{м}^3=3\cdot10^{-29}\,\text{м}^3

Характерный линейный размер молекулы (корень кубический):

d\sim\sqrt[3]{v_1}=\sqrt[3]{30\cdot10^{-30}}\,\text{м}\approx3\cdot10^{-10}\,\text{м}=0{,}3\,\text{нм}

Это оценка характерного межмолекулярного размера в модели, где каждой молекуле соответствует кубик объёма v_1 .

Характерный объём, приходящийся на молекулу в плотной упаковке, имеет порядок D³. В газе расстояния между молекулами значительно больше их размеров.

Число молекул в стакане воды:

Возьмём 1 см³ воды и мысленно равномерно распределим его молекулы по всему объёму мирового океана. Оценим среднее число таких молекул в стакане 200 мл. Время полного перемешивания здесь не рассчитывается: равномерность распределения — условие задачи.

Количество молекул в исходном объеме:

N_0=\frac1{18}N_1\approx3{,}3\cdot10^{22}

Полный объем мирового океана:

V_{океан} = 4\pi r_{E}^{2}h \approx 4\pi*\left( 6.4 \times 10^{6} \right)^{2}*3*10^{3}\, м^{3}

В оценке лекции h\approx3\,\text{км} — эквивалентная толщина слоя воды, если распределить океан по всей поверхности Земли. Поэтому площадь берётся как 4\pi R_E^2 ; это не утверждение, что вся поверхность планеты покрыта океаном.

Принимаем π≈3, тогда:

V_{океан} \approx 12 \times \left( 6.4 \times 10^{6} \right)^{2}*3*10^{3}\, м^{3}

Среднее число помеченных молекул в стакане объёмом 200 мл:

\overline N_{\text{ст}}=N_0\frac{200\cdot10^{-6}\,\text{м}^3}{V_{\text{океан}}}\approx4{,}5\sim5

Число около пяти — среднее по множеству стаканов, а не обязательное точное число в каждом отдельном стакане. Оценка предполагает сохранность помеченных молекул и полное равномерное перемешивание.

Длина цепочки молекул:

В 1 см³ воды находится N_0\approx N_1/18 молекул. Если расположить их вплотную вдоль прямой, длина цепочки равна:

l_{\text{цеп}}\sim N_0d

Подставляем значения:

Длина \approx \left( \frac{6 \times 10^{23}}{18} \right)*3*10^{- 10}\, м \approx 10^{13}\, м

Сравниваем длину цепочки с расстоянием от Земли до Солнца (~150 млн км или 1.5*10^{11}м ). Таким образом, длина цепочки примерно в 70 раз превышает расстояние от Земли до Солнца.

Объём сосуда для сбора молекул:

Оценим число молекул в поверхностном слое толщиной в одну молекулу. В принятом в лекции приближении используем площадь поверхности Земли; для реальной площади водной поверхности результат будет несколько меньше.

N_{\text{пов}}\sim\frac{A_E}{s_1}

Площадь Земли:

A_E=4\pi R_E^2\approx5{,}1\cdot10^{14}\,\text{м}^2

Площадь, занимаемая одной молекулой:

s_1\sim d^2\approx9\cdot10^{-20}\,\text{м}^2

Следовательно, общее число молекул на поверхности:

N_{\text{пов}}\sim\frac{5{,}1\cdot10^{14}}{9\cdot10^{-20}}\approx5{,}7\cdot10^{33}

Затем определяем объём жидкости, соответствующей этому числу молекул:

V_{\text{слоя}}\sim N_{\text{пов}}v_1\approx5{,}7\cdot10^{33}\cdot3\cdot10^{-29}\,\text{м}^3

Получаем объём в кубических метрах:

V_{\text{слоя}}\sim1{,}7\cdot10^5\,\text{м}^3

Кубический корень даёт размер стороны куба:

a=\sqrt[3]{V_{\text{слоя}}}\approx55\,\text{м}\sim50\,\text{м}

Потребуется кубический сосуд с ребром порядка 50 м. В лекции при более грубом округлении площади и молекулярного сечения получено 1{,}2\cdot10^5\,\text{м}^3 и ребро около 50 м; аккуратная подстановка приведённых здесь данных даёт около 55 м. Точность оценки ограничена самой моделью молекулярного слоя.

Эти задачи показывают, как оценивать размер молекулы по плотности и молярной массе и сопоставлять огромное число частиц с привычными и планетарными масштабами. Численные ответы имеют оценочную точность и зависят от явно принятых условий.