Дрейф заряженных частиц: Часть 2

Видео

Конспект

Дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях ($E \perp B$)

Рассматривается однородное пространство, заполненное взаимно перпендикулярными полями: электрическим $\mathbf{E}$ (направлено вдоль плоскости рисунка, например вертикально) и магнитным $\mathbf{B}$ (перпендикулярно плоскости рисунка). Масса частицы $m$, заряд $q > 0$.

Суммарная сила Лоренца: $$

\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}.

$$

Переход в движущуюся систему отсчёта. При скоростях $v \ll c$ поля преобразуются по формулам: $$

\mathbf{B}' \approx \mathbf{B} + \frac{1}{c^2}\,\mathbf{v}_0 \times \mathbf{E},

\qquad

\mathbf{E}' \approx \mathbf{E} - \mathbf{v}_0 \times \mathbf{B},

$$ где $\mathbf{v}_0$ — скорость новой системы отсчёта (СО$_2$) относительно исходной (СО$_1$).

Потребуем $\mathbf{E}' = 0$: $$

\mathbf{E} = \mathbf{v}_0 \times \mathbf{B}

\quad\Longrightarrow\quad

v_0 = \frac{E}{B}

\quad (\mathbf{v}_0 \perp \mathbf{E},\ \mathbf{v}_0 \perp \mathbf{B}).

$$

В СО$_2$ электрическое поле равно нулю, а магнитное поле несколько увеличивается: $$

B' = B + \frac{E^2}{c^2 B}.

$$

Движение в СО$_2$. Если в начальный момент скорость частицы в исходной системе равна нулю, то в СО$_2$ начальная скорость равна $v_0 =

E/B$ (противоположна направлению движения СО$_2$). В системе, где $E' = 0$, частица движется в магнитном поле $B'$ по окружности с радиусом: $$

R = \frac{mv_0}{qB'}

$$ и периодом: $$

T = \frac{2\pi R}{v_0} = \frac{2\pi m}{qB'}.

$$

Малость добавки к полю. Если выполняется условие $$

\frac{E^2}{B^2 c^2} \ll 1,

$$ то $B' \approx B$, добавкой к магнитному полю можно пренебречь.

Траектория в исходной СО. В СО$_2$ частица движется по окружности. В СО$_1$ к этому добавляется равномерное движение со скоростью $v_0 = E/B$: траектория является циклоидой. За каждый период $T$ частица смещается в направлении $\mathbf{E} \times \mathbf{B}$ на расстояние $2\pi

R$.

Средняя дрейфовая скорость в скрещенных полях: $$

\boxed{v_др = \frac{E}{B}.}

$$ Эта скорость не зависит ни от массы, ни от заряда частицы.

Ненулевая начальная скорость. Если начальная скорость частицы отлична от нуля, в СО$_2$ она также движется по окружности, но с иной скоростью. В зависимости от соотношения переносной скорости $v_0$ и скорости по окружности форма циклоиды меняется:

если $v_0$ больше скорости по окружности — вытянутая (удлинённая) циклоида: частица в отдельные моменты движется медленнее, в другие — быстрее;

если $v_0$ меньше скорости по окружности — укороченная циклоида, при которой частица не останавливается.

Физическое приложение: авроры (полярные сияния)

Заряженные частицы солнечного ветра (протоны, электроны, ионизованные ядра гелия) движутся от Солнца и попадают в неоднородное магнитное поле Земли. Составляющая скорости частицы вдоль силовой линии поля не изменяется магнитным полем, поэтому частица «нанизывается» на силовую линию и движется к полюсам Земли.

Когда частицы достигают плотных слоёв атмосферы, они возбуждают молекулы и атомы газов. При последующей рекомбинации и дезактивации возбуждённых состояний испускается свет, наблюдаемый как полярные сияния (северное сияние в северном полушарии, аналогичное явление — в южном).