Статистические закономерности МКТ. Механизмы теплопередачи.: Часть 2

Механизмы теплопередачи

Теплопередача осуществляется тремя основными способами:

Кондукция (теплопроводность):

Передача тепла непосредственно между соседними частицами вещества.

Конвекция:

Тепловой перенос за счёт перемещения жидкостей или газов.

Излучение:

Передача тепла электромагнитными волнами (инфракрасное излучение).

Закон теплопроводности Фурье

Для однородной плоской стенки толщиной h при установившемся теплообмене мощность потока тепла пропорциональна площади A и разности температур, обратно пропорциональна толщине:

W=\frac{Q}{\Delta t}=\lambda A\frac{T_{\text{гор}}-T_{\text{хол}}}{h}

Где:

W — мощность теплового потока (Вт); Q — количество переданного тепла (Дж),

λ — коэффициент теплопроводности материала (Вт/м·K),

A — площадь сечения (м²),

\Delta T=T_{\text{гор}}-T_{\text{хол}}>0 — разность температур (°C или К),

h — толщина материала (м).

Тепло идёт от более горячей стороны к более холодной. В записи закона Фурье для плотности потока j_x=-\lambda\frac{dT}{dx} знак минус выражает направление потока против роста температуры. В формуле для положительной величины мощности W этот знак уже учтён выбором положительной разности температур.

Расчёт теплопотерь помещения

Рассмотрим кубический домик без окон и дверей с ребром a = 4 м. Площадь одной грани A = 16 м²; толщина деревянных стен h = 0,15 м. Внутри поддерживается +20 °C, снаружи −20 °C. Сильный ветер позволяет в этой упрощённой задаче считать температуру наружных поверхностей равной температуре воздуха. Все шесть граней, включая пол и потолок, имеют одинаковые свойства.

Коэффициент теплопроводности древесины примем λ=0,1 Вт/(м⋅K)

Сначала найдём мощность теплопотерь через одну грань:

W_1=\frac{\lambda A\Delta T}{h}=\frac{0{,}1\cdot16\cdot40}{0{,}15}\,\text{Вт}\approx427\,\text{Вт}

Для одной грани это приблизительно 0,43 кВт, а для всего домика:

W_{\text{дом}}=6W_1=\frac{6\lambda a^2\Delta T}{h}=2560\,\text{Вт}\approx2{,}6\,\text{кВт}

Необходимая мощность обогревателя определяется суммарными теплопотерями:

В рамках этой модели для поддержания постоянной температуры требуется около 2,6 кВт. Если для оценки заменить толщину 0,15 м на близкую величину 0,16 м, получается приведённое в лекции округление 2,4 кВт.

Один человек в рассматриваемых условиях выделяет тепловую мощность порядка 100 Вт. Поэтому для компенсации 2,4 кВт потребовалось бы около 24 человек. Это только тепловая оценка: замкнутый домик без вентиляции не пригоден для длительного пребывания людей.

Различные теплоизоляционные материалы

Эффективность изоляции характеризуется коэффициентом теплопроводности:

Коэффициент теплопроводности

Материал

Вт/(м·K)

Дерево

0,1-0,2

Кирпич

0,7

Пенопласт

0,03-0,05

Минеральная вата

0,035-0,045

Отдельный пример: для одной кирпичной стены площадью 16 м² и толщиной 0,5 м при той же разности температур 40 К получим:

W_1=\frac{0{,}7\cdot16\cdot40}{0{,}5}\,\text{Вт}=896\,\text{Вт}\approx0{,}9\,\text{кВт}

Даже более толстая кирпичная стена в этом примере теряет примерно вдвое больше тепла, чем деревянная. При одинаковой толщине 0,15 м отношение теплопотерь равно отношению теплопроводностей 0,7/0,1 = 7. Поэтому кирпичный домик из шести одинаковых граней терял бы около 18 кВт; при использованном в лекции округлении деревянного домика до 2,4 кВт — около 17 кВт.

Условие сильного ветра существенно. Без ветра наружная поверхность прогревается относительно холодного воздуха, уменьшая перепад температуры на стенке; тепло от поверхности уносят естественная конвекция и излучение. При расчёте реального здания также необходимо учитывать окна, двери, вентиляцию и различие конструкций пола, потолка и стен.

Рассмотрены механизмы передачи тепла: теплопроводность, конвекция и излучение.

Изучено влияние толщины и типа строительных материалов на потерю тепла зданиями.

Приведен практический расчет потребности в отопительных приборах для конкретных условий.

Основная тема

Задача на применение закона теплопроводности

Решение задачи о передаче тепла между жидкостями в сосуде

Использование принципа сохранения энергии и баланса потоков тепла

Постановка задачи

Имеется теплоизолированный кубический сосуд с тремя отсеками. Вид сверху: квадрат разделён пополам, а одна половина дополнительно разделена на два равных отсека. Малые отсеки содержат чай и компот, большой — суп. Жидкости налиты до одинаковой высоты; начальные температуры:

Отсек №1 («Чай», Tч=90∘C);

Отсек №2 («Компот», Tк=40∘C);

Отсек №3 («Суп», Tс=60∘C).

Наружные стенки, дно и крышка теплоизолированы. Внутренние перегородки сделаны из одного материала — нержавеющей стали — и имеют одинаковую толщину. Площади всех трёх границ «чай — компот», «чай — суп» и «компот — суп» равны, поэтому их тепловые проводимости одинаковы.

Через некоторое время температуры изменяются:

Температура чая уменьшается на 1∘C (становится 89∘C).

Необходимо определить новые температуры компота и супа.

Изменение температуры чая на 1 °C мало по сравнению с исходными разностями температур 50, 30 и 20 °C. Поэтому при оценке считаем мощности теплообмена постоянными и используем начальные температуры.

Формализация задачи

Обозначим массы жидкости:

Масса чая и компота M,

Масса супа 2M.

Плотность и удельную теплоёмкость всех трёх жидкостей принимаем такими же, как у воды. Удельную теплоёмкость обозначим c; массы чая и компота равны M, масса супа — 2M.

Обозначим \Delta T_i=T_i^{\prime}-T_i . Полученное жидкостью тепло считаем положительным, отданное — отрицательным. Тогда:

Тепло, полученное чаем (отрицательно):

Q_{\text{ч}}=Mc\Delta T_{\text{ч}}=-Mc\cdot1\,\text{К}

Энергия, приобретённая компотом:

Q_{\text{к}}=Mc\Delta T_{\text{к}}

Энергия, приобретённая супом:

Q_{\text{с}}=2Mc\Delta T_{\text{с}}

Суммарный энергетический баланс предполагает сохранение общей энергии системы:

Q_{\text{ч}}+Q_{\text{к}}+Q_{\text{с}}=0,\qquad\Delta T_{\text{ч}}+\Delta T_{\text{к}}+2\Delta T_{\text{с}}=0

Пусть G=\lambda S/h — одинаковая тепловая проводимость каждой перегородки, τ — рассматриваемое время. Чай отдаёт тепло компоту и супу; компот получает тепло от обоих соседей; суп получает тепло от чая и отдаёт компоту. Поэтому:

\begin{aligned}Mc\Delta T_{\text{ч}}&=-G\tau[(90-40)+(90-60)]=-80G\tau,\\Mc\Delta T_{\text{к}}&=G\tau[(90-40)+(60-40)]=70G\tau,\\2Mc\Delta T_{\text{с}}&=G\tau[(90-60)-(60-40)]=10G\tau.\end{aligned}

Решения и расчеты

Из первого уравнения при \Delta T_{\text{ч}}=-1\,\text{К} находим \frac{G\tau}{Mc}=\frac{1\,\text{К}}{80\,\text{К}}=\frac{1}{80} . Подставим это отношение в два остальных уравнения.

Изменение температуры компота:

\Delta T_{\text{к}}=\frac{70}{80}\,\text{К}=\frac78\,\text{К}=0{,}875\,\text{К}

Новая температура компота:

T_{\text{к}}^{\prime}=40\,^{\circ}\text{C}+0{,}875\,^{\circ}\text{C}=40{,}875\,^{\circ}\text{C}

Изменение температуры супа:

\Delta T_{\text{с}}=\frac{10}{2\cdot80}\,\text{К}=\frac1{16}\,\text{К}=0{,}0625\,\text{К}

Новая температура супа:

T_{\text{с}}^{\prime}=60\,^{\circ}\text{C}+0{,}0625\,^{\circ}\text{C}=60{,}0625\,^{\circ}\text{C}

Таким образом, после охлаждения чая на 1∘C:

Компот нагрелся приблизительно на 0,875 °C (до 40,875 °C).

Суп нагрелся приблизительно на 0,0625 °C (до 60,0625 °C).

Проверка сохранения энергии: -1+0{,}875+2\cdot0{,}0625=0 . Ответ получен в приближении малых изменений температур; он учитывает теплообмен через все три перегородки.