Движение тела, брошенного горизонтально.

Зависимость от времени скорости тела, брошенного горизонтально.

Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то брошенное, как угодно, тело движется с ускорением свободного падения \vec{g} . Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально со скоростью v_{0} с высоты h над поверхностью земли. Введём систему координат, как показано на рисунке 4.1.

В векторном виде зависимость скорости тела от времени выражается формулой \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t .

В проекциях на оси координат: v_{x}=v_{0} ; v_{y}=-g t . Тело как бы совершает одновременно два вида движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y - равноускоренно без начальной скорости.

Тогда в любой момент времени модуль скорости тела равен

v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{v_{0}^{2}+g^{2} t^{2}}.

Вектор скорости при этом направлен по касательной к траектории, о которой скажем позднее.

Графики зависимости проекций скорости на оси координат от времени имеют вид, показанный на рисунке 4.2.

Зависимость от времени координат тела, брошенного горизонтально

Уравнения зависимости координат x и у от времени имеют вид: x=x_{0}+ v_{0 x} t+\frac{a_{x} t^{2}}{2} и y=y_{0}+v_{0 y} t+\frac{a_{y} t^{2}}{2} . Учитывая, что в выбранной системе координат \quad x_{0}=0, v_{0 x}=v_{0}, a_{x}=0,

y_{0}=h, v_{0 y}=0, a_{y}=-g , получим уравнения движения тела, брошенного горизонтально:

\left\{\begin{array}{c}

x=v_{0} t \\

y=h-\frac{g t^{2}}{2}.

\end{array}\right.

Графики зависимости координат от времени в этом случае имеют вид, показанный на рисунке 4.3.

Траектория тела, брошенного горизонтально

Уравнение траектории движения представляет собой зависимость y(x) . Получим это уравнения, используя зависимость координат x и y от времени t : x=v_{0} t , y=h-\frac{g t^{2}}{2} . Для этого из уравнения x(t) следует выразить t и подставить его в уравнение y(t) . После математических преобразований получим:

y=h-\frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}.

Эта формула представляет собой уравнение параболы. Её вершина совпадает с начальным положением тела, то есть имеет координаты x_{0}=0 ; y_{0} =h , а ветвь параболы направлена вниз (на это указывает отрицательный коэффициент перед x^{2} ).

Траектория тела, брошенного горизонтально, изображена на рисунке 4.4. На рисунке так же показаны начальная и конечная скорости, и скорость тела в некоторый момент времени, направленные по касательной к траектории в данные моменты времени.

Время, дальность полёта и перемещение тела, брошенного горизонтально

В момент падения на землю координата y=0 . Из уравнения y(t) найдём время полёта тела:

y_{\text{п}}=h-\frac{g t_{\text{п}}^{2}}{2}=0 \quad \Rightarrow \quad t_{\text{п}}=\sqrt{\frac{2 h}{g}}.

Это выражение полностью совпадает с формулой для расчёта времени полёта, свободно падающего без начальной скорости с высоты h тела.

Дальность полёта тела, найдём, подставив t_{\text {п }} в уравнение зависимости x(t) , получим:

l=x\left(t_{\text{п}}\right)=v_{0} \sqrt{\frac{2 h}{g}}.

Модуль перемещения тела за время полёта равен s=\sqrt{h^{2}+l^{2}} . В любой момент времени скорость тела направлена по касательной к траектории и составляет некоторый угол \alpha с горизонтом (рис. 4.5).

Модуль скорости тела в этот момент времени равен

v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{v_{0}^{2}+g^{2} t^{2}}.

При этом \text{tg} \alpha=\frac{v_{y}}{v_{x}} . Последнее выражение довольно часто встречается в задачах на движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту.