Встреча

При решении задач о встрече тел, следует учитывать, что в момент встречи координаты тел должны быть равны и встреча случается в один и тот же момент времени \tau . Рассмотрим это на примере движения двух тел для случая, когда тела движутся вдоль одной прямой. Если тела движутся на плоскости, то в момент встречи не одна, а обе координаты должны быть равными.

Задача 1

Условие

Два тела, расстояние между которыми l , одновременно начинают двигаться навстречу друг другу: первое равномерно со скоростью v , а второе из состояния покоя с ускорением a. Через какое время они встретятся?

Решение

Уравнения движения каждого из тел:

x_{1}=v t ;\hspace{3pt} x_{2}=l-\frac{a t^{2}}{2}. В момент встречи координаты тел равны, следовательно v t_{в}=l-\frac{a t_{в}^{2}}{2}.

Решая полученное квадратное уравнение, после математических преобразований получим t_{в}=\frac{v}{a}\left(\sqrt{\frac{2 a l}{v^{2}}+1}-1\right).

Ответ t_{в}=\frac{v}{a}\left(\sqrt{\frac{2 a l}{v^{2}}+1}-1\right) .

Задача 2

Условие

Два мячика брошены вертикально вверх из одной точки с одинаковыми начальными скоростями v_{0}=10 м / c с интервалом времени \tau=1 с. На какой высоте они столкнутся?

Решение

Уравнения движения мячиков имеют вид: y_{1}=v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} n y_{1}=v_{0}(t-\tau)-\frac{g(t-\tau)^{2}}{2}.

В момент встречи координаты тел равны, тогда после приравнивания правых частей уравнений и математических преобразований получаем t_{в}= \frac{2 v_{0}+g \tau}{2 g} . Подставляя время встречи в уравнение движения первого мячика, получим после математических преобразований: h_{в}=\frac{4 v_{0}^{2}-g^{2} \tau^{2}}{8 g}=3,75 м.

Ответ h_{в}=3,75 м.

Задача 3

Условие

С высоты h_{1}=10 м без начальной скорости падает камень. Одновременно с высоты h_{2}=5 м вертикально вверх брошен другой камень. С какой начальной скоростью брошен второй камень, если камни встретились на расстоянии h=1 м над землей?

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 6.1.

6.3 Первый камень до встречи пролетит h_{1}-h=10-1=9 м. Время его движения до высоты h=1 м определим из формулы h_{1}-h=\frac{g t^{2}}{2} , где t- время встречи, следовательно t=\sqrt{\frac{2\left(h_{1}-h\right)}{g}} .

Второе тело движется вверх с начальной скоростью \vec{v}_{0} , достигает некоторой высоты и свободно падает вниз. Уравнение движения второго камня имеет вид: h=h_{2}+v_{0} t-\frac{g t^{2}}{2} , где t- время встречи.

Подставляя формулу для времени встречи в уравнение движения второго тела, после математических преобразований получим \begin{gathered}

v_{0}=\frac{h-h_{2}}{t}+\frac{g t}{2}=\left(h-h_{2}\right) \sqrt{\frac{g}{2\left(h_{1}-h\right)}}+\sqrt{\frac{g\left(h_{1}-h\right)}{2}} \approx 3,7 м / c.

\end{gathered}

Ответ v_{0}\approx 3,7 м / c .

Задача 4

Условие

Два мяча брошены одновременно навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v : один с поверхности земли вертикально вверх, другой вертикально вниз с высоты H . Найдите скорость v , если известно, что к моменту встречи перемещение одного из мячей составило H/3 .

Решение

Введём систему координат, как показано на рисунке 6.2.

6.4 Запишем уравнения движения обоих тел: y_{1}=v t-\frac{g t^{2}}{2},\hspace{3pt} y_{2}=H-v t- \frac{g t^{2}}{2} .

Мяч, брошенный с поверхности земли, до места встречи движется с уменьшающейся скоростью и проходит путь, равный H / 3 . В момент встречи координаты тел равны: y_{1}=y_{2}=\frac{H}{3} .

Тогда получаем систему уравнений: \left\{\begin{array}{c}\frac{H}{3}=v t-\frac{g t^{2}}{2} \\ \frac{H}{3}=H-v t-\frac{g t^{2}}{2}\end{array}\right. . Складывая эти уравнения, получим \frac{2 H}{3}=H-g t^{2} . Откуда время встречи t_{в}=\sqrt{\frac{H}{3 g}} . Подставляя это время в первое уравнение, получим: v=\sqrt{\frac{3 g H}{4}} .

Ответ v=\sqrt{\frac{3 g H}{4}} .