Баллистика. Координатный метод

Задача 1

Условие

Тело брошено со скоростью v_{0} под углом \alpha к горизонту. Найти скорость v_{0} и угол \alpha , если известно, что максимальная высота подъёма тела равна 3 м и радиус кривизны траектории тела в высшей точке траектории 3 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

В высшей точке траектории a_{n}=g=\frac{v_{x}^{2}}{R}=\frac{\left(v_{0} \cos \alpha\right)^{2}}{R} . Откуда v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha=g R .

Из равенства нулю проекции скорости на ось у в верхней точке траектории v_{y}=v_{0} \sin \alpha-g t_{\text {п }}=0 найдём время подъёма тела до максимальной высоты t_{\text {п }}=\frac{v_{0} \sin \alpha}{g} . Подставляя время подъёма в уравнение y=h+v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} , получим выражение для высоты подъёма h=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g} . Откуда v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha=2 g h .

Разделив последние выражения в каждом абзаце друг на друга, получим tg^{2} \alpha=\frac{2 h}{R} , откуда \alpha=\operatorname{arctg} \sqrt{\frac{2 h}{R}} \approx 55^{\circ} .

Сложив последние выражения в каждом абзаце друг с другом, получим v_{0}^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)=g R+2 g h откуда v_{0}=\sqrt{g(R+2 h)} \approx 9,5 м/с.

Ответ v_{0}=\sqrt{g(R+2 h)} \approx 9,5 м/с.

Задача 2

Условие

Снаряд вылетает из пушки, стоящей на земле, со скоростью v_{0} под углом \alpha к горизонту. С какого расстояния L он может попасть в цель, находящуюся на высоте H от поверхности земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Попасть в цель снаряд может дважды: во время подъёма и во время падения (рис. 1).

8.1 Уравнения движения снаряда имеют вид: x=v_{0} \cos \alpha t \text { и } y=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2}.

Снаряд попадёт в цель, когда x=L, y=H .

Решая уравнение H=v_{0} \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2} , найдём моменты времени, в которые возможно попадание снаряда в цель: t_{1 / 2}=\frac{v_{0} \sin \alpha \pm \sqrt{\left(v_{0} \sin \alpha\right)^{2}-2 g H}}{g}.

Подставляя полученные выражения в уравнение x(t) , получим после математических преобразований расстояния L , с которых можно попасть в цель: L_{1 / 2}=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{2 g} \pm \frac{v_{0} \cos \alpha \sqrt{\left(v_{0} \sin \alpha\right)^{2}-2 g H}}{g}.

Ответ L_{1 / 2}=\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{2 g} \pm \frac{v_{0} \cos \alpha \sqrt{\left(v_{0} \sin \alpha\right)^{2}-2 g H}}{g}.

Задача 3

Условие

Бомбардировщик пикирует цель, двигаясь под углом \alpha к горизонту (рис. 2). В момент отделения бомбы от самолёта на высоте h скорость самолёта равна v . Найти отклонение \Delta l точки попадания B от точки смещения A . Сопротивлением воздуха пренебречь.

8.2 Решение

Расстояние между точками АО равно L=\frac{h}{tg \alpha} .

Уравнения движения бомбы имеют вид: x=v \cos \alpha t \text { и } y=h-v \sin \alpha t-\frac{g t^{2}}{2}.

В момент попадания в точку B координата y=0 . Отсюда найдём время падения бомбы: t=\frac{-v \sin \alpha+\sqrt{(v \sin \alpha)^{2}+2 g h}}{g} .

Тогда расстояние O B равно x=\frac{v \cos \alpha\left(-v \sin \alpha+\sqrt{(v \sin \alpha)^{2}+2 g h}\right)}{g} .

Отклонение \Delta l=A O-O B=\frac{h}{t g \alpha}-\frac{v \cos \alpha\left(-v \sin \alpha+\sqrt{(v \sin \alpha)^{2}+2 g h}\right)}{g} .

Ответ \Delta l=\frac{h}{t g \alpha}-\frac{v \cos \alpha\left(-v \sin \alpha+\sqrt{(v \sin \alpha)^{2}+2 g h}\right)}{g} .